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1、第31卷第1期河北理工大学学报(自然科学版)Vol31No12010年2月JournalofHebeiPolytechnicUniversity(NaturalScienceEdition)Feb2010文章编号:16740262(2010)01006004倒向随机微分方程的几个逆比较结果12113郑石秋,刘玉春,郭小强,冯立超,屈静国(1河北理工大学理学院,河北唐山063009;2南开大学滨海学院应用数学系,天津300270;3河北理工大学轻工学院,河北唐山063000)关键词:倒向随机微分方程;比较定理;逆比较定理摘要:在适当的假设条件下,给出了关
2、于倒向随机微分方程的几个逆比较结果,这些结果表明通过比较倒向随机微分方程解的均值函数,可以去比较其生成元的大小。中图分类号:O2116文献标志码:A众所周知,著名的比较定理在许多有关倒向随机微分方程的理论研究中其到了至关重要的作用,比较定理指出通过比较两个实值倒向随机微分方程的生成元和终端条件,可以来比较其解的大小。我们可否通过比较倒向随机微分方程的解去比较其生成元吗?这就是所谓的关于倒向随机微分方程的逆比较问题,有关[1~4]它的研究可见等等。与以上文献所给出的逆比较结果不同的是,本文在适当的假设条件下证明了可以通过比较两个倒向随机微分方程解的均值函数,去比较它们
3、的生成元的大小。1假设与引理假设(,F,P)是一个完备的概率空间,(Wt)t0是定义在此概率空间上的一个d维的标准布朗运动,设n(Ft)t0是由此布朗运动产生的自然代数流且满足通常条件。对于任意正整数n和xR我们用
4、x
5、表示其Euclid范数。设T>0是一个给定的实数,下面我们定义如下三个常用的空间:22L(Ft):={;R值Ft可测的随机变量且E
6、
7、<+!},t0,T;22S(R):={!;R值连续的循序可测过程且Esup!t<+!};0∀t∀TT2nn2H(R):={!;R值循序可测过程且E#!tdt<+!}0[5]定义11倒向随机微分方程(BSDE)
8、是指如下类型的随机微分方程:TTy1=+#g(s,ys,zs)ds-zsdWst0,T(1)tt#dn其中g:∃0,T∃R∃R%R,并且(y,z)R∃R,(g(t,y,z))0∀t∀T为循序可测过程,称g为(1)的生成元,(,T)称为(1)的终端条件。为了明确起见,本文常记(1)为BSDE(g,,T)。本文将会对g应用到如下一些假设:n(H1):存在一个常数∀>0,使dP∃dt-as,(yi,zi)R∃R,i=1,2,有:g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)∀∀(y1-y2+z1-z2)2(H2):过程(g(t,0,0))t0,TH(R)(H3)
9、:dP∃dt-as,yR,g(t,y,0)&0(H4):dP∃dt-as,g(t,0,0)&0注11条件(H3)蕴含条件(H4),条件(H4)蕴含条件(H2)。[5]2引理11假设生成元g满足条件(H1),(H2),则L(FT),BSDE(g,,T)存在唯一的一对解22d(yt,zt)t0,TS(R)∃H(R)。本文记yt=Eg,T
10、Ft,t0,T,特别地y0=Eg,T。收稿日期:20090313第1期郑石秋,等:倒向随机微分方程的几个逆比较结果61接下来的引理12给出的是倒向随机微分方程理论中著名的比较定理与在某些特殊的条
11、件下解的一些[6][7]性质,它们分别取自于ElKarou,iPeng,Quenez与Peng。[6]引理12假设生成元g,g1,g2满足(H1),(H2),则我们有以下一些结论成立:2(∋)若1,2L(FT),g1g2,12,as,则t0,T,P-as,Eg1,T1
12、FtEg2,T2
13、Ft,2(()进一步,若g满足(H4),则t0,T,st,T,AFt,L(FT)有P-as,1AEg,T
14、Fs=Eg,T1A
15、Fs,2())进一步,若g满足(H3),则t0,T,st,T,L(FT)有P-as,Eg,T
16、Fs=,下面是单障碍反射
17、倒向随机微分方程(RBSDE)的定义与其解的存在唯一性定理(见ElKarouiet[8]al)。[8]22定义12单障碍RBSDE是指具有一个终端条件L(FT),一个生成元g,一个障碍{Lt}0∀t∀TSd(R)且LT,as其解为一个取值于R∃R∃R+的三元组(Y,Z,K)并且满足:2d2ZH(R),Y,KS(R)TTYt=+t#g(s,Ys,Zs)ds+KT-Kt-#tZsdWsP-as,Lt∀Yt,t0,T(2)T#(Yt-Lt)dKt=00Kt!,K0=0为了明确起见,
