2015-2016学年北京市西城区第一学期期末高三数学（理科）

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1、2015-2016学年北京市西城区第一学期期末高三数学（理科）一、选择题（共6小题；共30分）1.下列函数中，值域为R的偶函数是  A.y=x2+1B.y=ex−e−xC.y=lgxD.y=x22.设命题p：“若sina=12，则a=π6”，命题q：“若a>b，则1a<1b”，则  A.“p∧q”为真命题B.“p∨q”为假命题C.“¬q”为假命题D.以上都不对3.在数列an中，“对任意的n∈N*，an+12=anan+2”是“数列an为等比数列”的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4

2、.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是  A.16+23B.16+25C.20+23D.20+255.某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用x表示不大于x的最大整数，则图中①处应填：  A.y=2x−12+4B.y=2x−12+5C.y=2

3、x=12+4D.y=2x+12+56.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得PE⋅PF=λ成立，那么λ的取值范围是  A.0,7B.4,7C.0,4D.−5,16二、解答题（共5小题；共65分）7.已知函数fx=cosxsinx+3cosx−32，x∈R．（1）求fx的最小正周期和单调递增区间；（2）设a>0，若函数gx=fx+a为奇函数，求a的最小值．8.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形

4、，∠BCD=135∘，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90∘，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（3）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值．9.已知函数fx=x2−1，函数gx=2tlnx，其中t≤1．（1）如果函数fx与gx在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（2）如果曲线y=fx与y=gx有且仅有一个公共点，求t的取值范围．10.已知椭圆C:x2a2+y

5、2b2=1a>b>c的离心率为32，点A1,32在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值?若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．11.在数字1,2, ,nn≥2的任意一个排列A:a1,a2, ,an中，如果对于i,j∈N*，iaj，那么就称ai,aj为一个逆序对，记排列A中逆序对的个数为SA．如n=4时，在排列B:3,2,4,1中，逆序对有3,2，3,1

6、，2,1，4,1，则SB=4．（1）设排列C:3,5,6,4,1,2，写出SC的值；（2）对于数字1,2, ,n的一切排列A，求所有SA的算术平均值；（3）如果把排列A:a1,a2, ,an中两个数字ai,aji

7、共30分）13.已知复数z满足z1+i=2−4i，那么z=______．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=B，a=3，c=2，则cosC=______．15.双曲线C:x216−y24=1的渐近线方程为______；设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且PF1=4，则PF2=______.16.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，点O为BC的中点，以BC为直径的半圆与AC，AO分别交于点M，N，则AN=______；AMMC=______．17.现有5名教师要带3个兴

8、趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有______种．（用数字作答）18.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系t=64,x≤0,