2015-2016学年北京市西城区高二第一学期期末数学（理科）

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1、2015-2016学年北京市西城区高二第一学期期末数学（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1.命题“若a>1，则a>0”的逆命题是  A.若a>0，则a>1B.若a≤0，则a>1C.若a>0，则a≤1D.若a≤0，则a≤12.已知两点P4,0，Q0,2，则以线段PQ为直径的圆的方程是  A.x+22+y+12=5B.x−22+y−12=10C.x−22+y−12=5D.x+22+y+12=103.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相

2、平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是  A.①B.②C.③D.④4.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是  A.x2−y24=1B.y2−x24=1C.x24−y216=1，或y24−x216=1D.x2−y24=1，或y2−x24=15.“直线l垂直于平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图如图所示．其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为  A

3、.32B.3C.32D.37.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得△F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是______A.0,22B.22,1C.0,12D.12,18.已知四面体ABCD的侧面展开图如图所示，则其体积为  A.2B.32C.34D.23二、填空题（共6小题；共30分）9.命题“∀x∈R,x2−1>0”的否定是______．10.已知直线l1：2x−ay−1=0，l2：ax−y=0．若l1∥l2，则实数a=______．11.已知双曲线x2−y2b2=1的一个焦点

4、是2,0，则其渐近线的方程为______．12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1和B1D1所成角的大小为______；直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小为______．13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的一个法向量是n=1,−1,2，且平面α过点A0,3,1．若Px,y,z是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是______．14.平面内到定点F0,1和定直线l:y=−1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点Px,y在曲线C上，

5、则y≤2；③若点P在曲线C上，则1≤PF≤4．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分）15.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，Q是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDQ；（2）若PB=PD，求证：平面PAC⊥平面BDQ．16.已知抛物线y2=2pxp>0的准线方程是x=−12．（1）求抛物线的方程；（2）设直线y=kx−2k≠0与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AC=23，AA1=3，AB=2，点D在

6、棱B1C1上，且B1C1=4B1D．（1）求证：BD⊥A1C；（2）求二面角B−A1D−B1的大小．18.如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=4．点B，C在圆O上，且关于x轴对称．（1）当点B的横坐标为3时，求OB⋅OC的值；（2）设P为圆O上异于B，C的任意一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，证明：OM⋅ON为定值．19.如图1，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示．（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）求证：AM∥平面PBC；（

7、3）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为34?若存在，找到所有符合要求的点N；若不存在，说明理由．20.如图，已知四边形ABCD是椭圆3x2+4y2=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F1，F2．（1）若直线AC的方程为x−2y=0，求AC的长；（2）求平行四边形ABCD面积的最大值.答案第一部分1.A2.C3.C4.D5.B6.C7.B8.D第二部分9.∃x∈R,x2−1≤010.±211.y=±3x12.60∘；30∘13.x−y+2z+1=014.①②③第三部分15.（1）设AC交BD于点O，连

8、接OQ．因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC．因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ．      （2）连接OP．因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，O为