2015-2016学年北京市西城区高二第一学期期末数学（文科）

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1、2015-2016学年北京市西城区高二第一学期期末数学（文科）一、选择题（共8小题；共40分）1.命题“若a>1，则a>0”的逆命题是  A.若a>0，则a≤1B.若a>0，则a>1C.若a≤0，则a>1D.若a≤0，则a≤12.复数z=1+2i的虚部是  A.−2iB.2iC.−2D.23.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是  A.①B.②C.③D.④4.抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是  A.1B.2C.3D

2、.45.两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是  A.A1A2B1B2=−1B.A1A2B1B2=1C.A1A2+B1B2=0D.A1A2−B1B2=06.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是  A.BD1∥B1CB.A1D1∥平面AB1CC.BD1⊥ACD.BD1⊥平面AB1C7.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1，F2，∣F1F2∣=2cc>0．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90∘，则点P到x轴的距离为  A.b2aB.b2cC.c2aD.c2b8.

3、在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点.则从P点出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为  A.32B.42C.34D.52二、填空题（共6小题；共30分）9.命题“∀x∈R,x2−1>0”的否定是______.10.已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S2:S2=______．11.如图，在复平面内复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则z1z2=______．12.已知双曲线x2−y2b2=1b>0的一个焦点是2,0，则b=______；双曲线的渐近线方程为______.13.已知正六棱柱的底面

4、边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是______.14.已知曲线C的方程是x4+y2=1，关于C曲线的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π.其中，所有正确结论的序号是______.三、解答题（共6小题；共78分）15.如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2.（1）求PB的长；（2）求四棱锥P−ABCD的表面积.16.如图，已知圆心为C4,3的圆经过原点O．（1）求圆C的方程；（2）设直线3x−4y+m=0与圆C交于A，B两点．若∣

5、AB∣=8，求m的值．17.如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（1）求证：QB∥平面AEC；（2）求证：平面QDC⊥平面AEC；（3）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．18.已知抛物线y2=2pxp>0的准线方程是x=−12.（1）求抛物线的方程；（2）设直线y=kx−2k≠0与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明OM⊥ON．19.如图1，在△ABC中，∠ABC=90∘,D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1−BCD，如图2所示．（1）若M是A1C的中点，求证：DM∥

6、平面A1EF；（2）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直?并说明理由.20.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率是32，一个顶点是B0,1．（1）求椭圆C的方程；（2）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．答案第一部分1.B2.D3.C4.A5.C6.C7.B8.B第二部分9.∃x∈R,x2−1≤010.1:411.−1+2i12.3；y=±3x13.4314.①③第三部分15.（1）连接BD.PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD.因为底面ABCD是

7、正方形，AB=2，所以BD=22.在直角三角形PDB中，PB=PD2+BD2=23．      （2）因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，从而△PDA，△PDC为全等的直角三角形，所以PA=PC=22.由1知PB=23，所以AB2+PA2=PB2=BC2+PC2，从而△PAB，△PCB为全等的直角三角形.所以，四棱锥P−ABCD的表面积S=2SΔPDA+2SΔPAB+S正方形ABCD=2×12AD⋅PD+2×12AB⋅PA+AB2=8+42.16.（1）圆C的半径∣OC