北京市西城区2012-2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）

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1、北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2013.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）2．在复平面内，复数的对应点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是（）（A）（B）（C）（D）4．执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入（）（A）（B）（C）（D）5．已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的（）（A）充分而

2、不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6．已知是正数，且满足．那么的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）（A）（B）（C）（D）8．将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知向量，，.若向量与向量共线，则实数_____．10．如图，△中，，，．以为直径的圆交于点，则；______．11．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．

3、若，，，则______．12．已知椭圆的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则△的面积是______．13．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．14．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：①；②；③．其中，具有性质的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△中，已知．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求△的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱的中点．（Ⅰ）求证：//平

4、面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A元件B（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知

5、函数，其中．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．20．（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．（Ⅰ）请写出一个，使得；（Ⅱ）是否存在，使得？说明理由；（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答

6、案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D；2．B；3．A；4．C；5．C；6．B；7．C；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．，；11．；12．；13．，；14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一：因为，所以．………………3分因为，所以，从而，………………5分所以．………………6分解法二：依题意得，所以，即．………………3分因为，所以，

7、所以．………………5分所以．………………6分（Ⅱ）解法一：因为，，根据正弦定理得，………………7分所以．………………8分因为，………………9分所以，………………11分所以△的面积．………………13分解法二：因为，，根据正弦定理得，………………7分所以．………………8分根据余弦定理得，………………9分化简为，解得．………………11分所以△的面积．………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．因为四边形为正方形，所以为中点．因为为棱中点．所以．………………3分因为平面，平面，所以直线//平面．………