07-08年.高三下.西城.数学.一模.卷答（2008-4，理科）

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1、07-08年.高三下.西城.数学.一模.卷答（2008-4，理科）一、选择题（共1小题；共5分）1.若集合A=xx2−5x+4<0，B=xx−a<1，则"a∈2,3"是"B⊆A"的______A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、填空题（共3小题；共15分）2.在x−a10的展开式中，x7的系数是15，则实数a=______．3.5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有______种．（用数字作答）4.已知两点A1,0，Bb,0，若抛物线y2=4x上存在点C，使

2、△ABC为等边三角形，则b=______．三、解答题（共4小题；共52分）5.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得−1分．现从盒内任取3个球．（1）求取出的3个球颜色互不相同的概率；（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．6.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB，PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30∘，平面PAB⊥平面ABC．（1）求证：PA⊥平面PB

3、C；（2）求二面角P−AC−B的大小；（3）求异面直线AB和PC所成角的大小．7.已知定点C−1,0及椭圆x2+3y2=5，过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点．（1）若线段AB中点的横坐标是−12，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使MA⋅MB为常数?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8.数列an中，a1=1，an+1=12an2−an+c（c>1为常数，n=1,2,3,⋯），且a3−a2=18.（1）求c的值；（2）①证明：an

4、（不必证明）；（3）比较k=1n1ak与4039an+1的大小，并加以证明．四、选择题（共6小题；共30分）9.在复平面内，复数21+i对应的点与原点的距离是______A.1B.2C.2D.2210.函数y=xx−2x>2的反函数的定义域为______A.1,+∞B.0,+∞C.0,1D.1,211.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是______A.−3B.−13C.3D.1312.函数f(x)=sinx⋅(cosx−sinx)的最小正周期是______A.π4B.π2C.πD.2π13.设a

5、∈R，函数fx=ex+a⋅e−x的导函数是fʹx，且fʹx是奇函数．若曲线y=fx的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为______A.−ln22B.−ln2C.ln22D.ln214.关于x,y的不等式组x≥ay≥12x+3y−35≤0表示的平面区域是W，若W中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有91个，则实数a的取值范围是______A.−2,−1B.−1,0C.0,1D.1,2五、填空题（共3小题；共15分）15.已知an是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=______．16.已知

6、A、B、C三点在球心为O、半径为3的球面上，且几何体O−ABC为正四面体，那么A、B两点的球面距离为______；点O到平面ABC的距离为______．17.已知点G是△ABC的重心，AG=λAB+μACλ,μ∈R，那么λ+μ=______；若∠A=120∘，AB⋅AC=−2，则AG的最小值是______．六、解答题（共2小题；共26分）18.已知函数fx=xlnx．（1）求fx的最小值；（2）若对所有x≥1，都有fx≥ax−1，求实数a的取值范围．19.在△ABC中，cosA=55，cosB=1010．（1）求

7、角C；（2）设AB=2，求△ABC的面积．答案第一部分1.A第二部分2.−123.724.5，−13第三部分5.（1）记"取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球"为事件A，则PA=C21C31C41C93=27．    （2）记"取出1个红色球，2个白色球"为事件B，"取出2个红色球，1个黑色球"为事件C，则PB+C=PB+PC=C21C32C93+C22C41C93=542．    （3）解：ξ可能的取值为0,1,2,3．Pξ=0=C63C93=521，Pξ=1=C31C62C93=4584，Pξ=2=C32C

8、61C93=314，Pξ=3=C33C93=184．ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ=0×521+1×4584+2×314+3×184=1．6.（1）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．又∵PA⊥PB,∴PA⊥平面PBC．    （2）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连结PM．∵平