07-08年.高三下.西城.数学.二模.卷答（2008-5，理科）

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1、07-08年.高三下.西城.数学.二模.卷答（2008-5，理科）一、填空题（共6小题；共30分）1.1+tan17∘1+tan28∘=______．2.若复数i⋅(2+bi)是纯虚数，则实数b=______．3.设α是第三象限角，tanα=512，则cosα=______．4.在(2x+1)4的展开式中，x2的系数是______；展开式中各项系数的和为______．5.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为______；三棱锥D−ABC的体积是______．6.设函数fx，gx的定义域分别为Df，Dg，

2、且Df⫋Dg．若对于任意x∈Df，都有gx=fx，则称函数gx为fx在Dg上的一个延拓函数．设fx=2xx≤0，gx为fx在R上的一个延拓函数，且gx是偶函数，则gx=______．二、解答题（共6小题；共78分）7.某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差．8.设φ∈0,π4，函数fx=sin2x+

3、φ，且fπ4=34．（1）求φ的值；（2）若x∈0,π2，求fx的最大值及相应的x值．9.在数列an中，a1=−3，an=2an−1+2n+3n≥2且n∈N*．（1）求a2,a3的值；（2）设bn=an+32nn∈N*，证明：bn是等差数列；（3）求数列an的前n项和Sn．10.已知抛物线的方程为x2=2pyp>0，过点P0,p的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2相交于点M．（1）证明：直线l1和l2的斜率之积为定值；（2）求点M的轨迹方程．11.已知函数fx=ex−x（e为自然对数的底数）．（1）求fx的最

4、小值；（2）设不等式fx>ax的解集为P，且x0≤x≤2⊆P，求实数a的取值范围；（3）设n∈N*，证明：k=1nknn

5、复赛阶段被淘汰的概率是P=PAB=PAPB=34×1−12=38.    （2）ξ可能的取值为1，2，3．Pξ=1=PA=1−34=14,Pξ=2=PAB=PAPB=34×1−12=38,Pξ=3=PAB=PAPB=34×12=38ξ的数学期望Eξ=1×14+2×38+3×38=178．ξ的方差Dξ=1−1782×14+2−1782×38+3−1782×38=3964.8.（1）因为fπ4=sin2π4+φ=121−cosπ2+2φ=121+sin2φ=34,所以sin2φ=12，因为φ∈0,π4，所以2φ∈0,π2，所以2φ=π6，φ=π12．    （2）f

6、x=sin2x+π12=−12cos2x+π6+12.因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6．当2x+π6=π，即x=5π12时，cos2x+π6取得最小值−1．所以fx在0,π2上的最大值为1，此时x=5π12．9.（1）∵a1=−3，an=2an−1+2n+3n≥2且n∈N*，∴a2=2a1+22+3=1，a3=2a2+23+3=13．    （2）证法一：对于任意n∈N*，∵bn+1−bn=an+1+32n+1−an+32n=12n+1an+1−2an−3=12n+12n+1+3−3=1.∴数列bn是首项为a1+32=−3+32=0，公差为1的等差

7、数列．证法二：对于任意n∈N*，∵2bn+1−bn+bn+2=2×an+1+32n+1−an+32n+an+2+32n+2=12n+24an+1−4an−an+2−3=12n+22an+1−2an−an+2−2an+1−3=12n+222n+1+3−2n+2+3−3=0,∴2bn+1=bn+bn+2，∴数列bn是首项为a1+32=−3+32=0，公差为b2−b1=1的等差数列．    （3）由（2）得an+32n=0+n−1×1，∴an=n−1⋅2n−3n∈N*．∴Sn=−3+1×22−3+2×23−3+⋯+n−1⋅2n−3,即Sn=1×22+2×23+3×24

8、+⋯+n−1⋅2n−3n