2012年第三届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准.doc

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1、12开学网：www.12kaixue.com2012年第三届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准1.已知一数列的前3项依次为2，4，16。根据你的观察，请写出数列的第4项，并写出你的判断理由（至少要写出三种可能的结果）。参考答案：（1）128；规律为，其2的次幂依次多1，多2，多3等等；（2）256；规律为，其2的次幂依次翻倍，依次为1，2,4,8，等等；（3）96；规律为：后项依次为前项乘以2,4,6，8等等，其各项依次为2，2´2=4,4´4=16,16´6=96,96´8=768，等等；（4）36；规律为：2=1+1´1，4=1+1´3,16=1+3´5,36=1+5´7，

2、等等；（5）106；规律为：2=1+1´1，4=1+1´3,16=1+1´3´5,36=1+1´3´5´7，等等……评分标准：本题为结论开放题，答案不唯一。写出一个答案并说明规律给3分，写出四个答案并说明规律给满分。2．观察下列式子：，，，......(1)根据你发现的规律写出接下来的一个等式：_____________________________________；（2）你能用含自然数n的代数式写出一个一般性的等式吗？答：_______________________;12开学网：www.12kaixue.com请根据你写出的一般等式计算：2006×2008×2010×2012+

3、16=_____________________.参考答案规律：等式左端是四个连续奇数或连续偶数相乘；右端是一个完全平方数，其基数是中间两数相乘减4，或者两端两数相乘加4，或者中间两数的算术平均的平方减5.答案为(1),(2)等2006×2008×2010×2012+16=，评分标准：第一问占4分；第二问第一式占4分，第二式占2分。3.本题分两部分，每部分5分。（1）2008年冬季湖南省遭受雪灾，在其境内一段笔直的高速公路上依次停着100辆受阻的汽车，救援部队要设置一个临时食品供应站P，使这100辆汽车到供应站P的距离总和最小，供应站P应设在何处？（写出解答过程）（2）利用上述问的解

4、题规律计算式子：的最小值？（写出解答过程）参考答案：（1）通过2辆车、3辆车、4辆车试验可以发现：当车辆为偶数n时，P应设在第辆与辆之间的任何地方都行，此时，这n辆车到供应站P的距离总和最小；当车辆为奇数n时，P应设在正中间的第辆车处，此时，这n辆车到供应站P的距离总和最小．故当车辆数为100时，P应设在50至51之间任何地方都行。（2）可以看成x所对应的点到1至20这20个点的距离之和。所以当10＜x＜11时，比如x=10.5，12开学网：www.12kaixue.com取最小值为9.5+8.5+7.5+...+0.5+0.5+1.5+...+7.5+8.5+9.5=100评分标准

5、：第一问占5分,从特殊到一般，说出结论，简单解释即可；第二问占5分，能够正确联想到第一个问题可得3分，得出结果得2分。4.将数字-2、-3、-5、8、9、11书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子。分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，问柱体A和柱体B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？说明你的理由。参考答案：要点是通过局部信息、片段信息发现整体信息，关键要找出每个数的对面是什么数，依据是排除其相邻的数字，再综合使用其他信息。观察图A和B所示的两个柱体可知：(1)因为与数字2相邻的四个面上的数字分别是3、5、8、9。所以数字2对面上的数字是11(2)因为

6、与数字8相邻的四个面上的数字分别是3、2、11、9。所以数字8对面上的数字是5。根据（1）、（2）可知：3对面的数字是9。12开学网：www.12kaixue.com所以，A柱体表面（不含底面）点数之和=（-3+8-5+11-2）+（-2+9-3+11）+（8-5+11-2）=36，B柱体表面（不含底面）点数之和=（-2+8+9-3-5）+（11-3-2+9）+（8-3-5+9）=31，评分标准：思路正确得4分；两个结论正确各得3分。5.在一张正五边形的纸片内有2007个点，加上5个顶点共有2012个点。（1）如果这些点中任意3个点都不在同一条直线上，现在以这2007个点为顶点，把纸

7、片剪开，最多剪出______个三角形（任意两个三角形没有重叠），写出推算过程；（2）如果这2012个点中，有三个或三个以上的点共线，你能确定最多剪出的三角形个数吗？说明你的结论和理由。参考答案：（1）4017；（2）可以确定，结论不变。如图，从简单的数字入手寻找规律，当正五边形内有2个点时，可以剪出7个三角形；当正五边形内有3个点时，可以剪出9个三角形；当正五边形内有4个点时，可以剪出11个三角形；......12开学网：www.12kaixue.com当