2013年第四届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准

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1、12开学网：www.12kaixue.com2013年第四届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准说明：本卷共12题，每题10分，满分120分。答题时间120分钟。1.完成以下算式：将适当的数字填入下述方框内，使除法算式成立。（不要求理由）【参考答案】2013÷33=61理由：先确定除数的十位数：因为20o被该数除上6余一位数，说明该除数的十位必为3；再定除数的个位数：根据余数是一位数，个位数只能是2、3、或4,32´6=192，33´6=198，34´6=204；如果除数是32，则余数是8或9,结合后一位3，83或93均不是32的倍数，结论不成立；同样可以否定34

2、；最终确定除数是33.后面就比较清楚了。【评分标准】确定除数的十位数得3分；再确定除数的个位数再得3分；确定尚的个位数得2分；全部确定再得2分。2.请完成以下两个问题：（1）将999表示成9个连续的奇数之和的形式；（2）将表示成7个连续的奇数之和的形式时，则其中最小的奇数是多少？（用含有字母n的代数式表示，其中字母n正整数）12开学网：www.12kaixue.com【参考答案】（1）由于999÷9=111，所取9个奇数的中间数应该是111，这个表示为999=103+105+107+109+111+113+115+117+119.（2）类似地：故最小的奇数是。【评分标

3、准】两个小题各5分。【注】这类问题关键找出其平均数，以平均数为中心，向两端延伸。3.观察下列等式：（1）（2）（3）......请按此规律写出第四个等式。若按照此规律写的第n个等式的等号左边最小数为，则该等式的等号右边最大数是多少？【参考答案】第四个等式：（4）等号左边最小数为时，等号右边最大数是。解答方法1：12开学网：www.12kaixue.com每个等式的左右两边是连续若干个完全平方数，其个数依次为3、5、7、9个等等，其特点是左端比右端多1个。观察等式左边最小数发现：从上到下依次为3=1×3；10=2×5；21=3×7；4×9；5×11；6×13；7×15；

4、8×17；9×19；10×21=210等各数的平方。因此，当等式左边最小数为2102时，该式为第10个式子，即n=10，这个式子左右两端共有21个数，左端11个，右端10个，右端最大的数为解答方法2：观察已知三个等式可知：每个等式中，紧靠等号左边的数分别是，......。由此可知：第n个等式中，紧靠等号左边的数是，第n个等式的左边最小数为，依题意有，因为n是正整数，所以，移项，分解因式得：故该等式的右边最大数是=【评分标准】写出第四个式子得4分；发现等式中数的平方特征及变化规律占2分；发现左端最小数的变化规律占2分；确定在第10行占1分；写出最大数占1分。4.在如图所

5、示的三个九宫图中，第2、3个分别是由第1、2个按照某种规律变化而来。（1）这三个九宫图有什么相同点和不同点？（2）请指出图1到图2、图2到图3的共同变化规律，并按照这种规律填写第4个图。【参考答案】12开学网：www.12kaixue.com（1）相同点：三个表的“左下至右上”对角线上各对应数相同；每行、每列、每个对角线三个数之和相等，都是99.“左下至右上”对角线上各对应数相同不同点：除了“左下至右上”对角线之外，其他位置各对应数均不相同。（2）变化规律：1到2、2到3三个图中，从左上角到右下角五条斜线上的数，第1条依次减1，第2条依次加1，第三条不变，第4条依次减

6、1，第5条依次加1.图4的填写如下：【评分标准】第1问4分；第2问6分其中第一问中相同点、不同点各占2分；第二问中规律占4分；填对第4个图占2分。5.如下图，在平行四边形ABCD中，已知求阴影部分四边形EFHG的面积。【参考答案】首先，根据等高三角形面积之比等于其底之比，因此12开学网：www.12kaixue.comEF：FC=EB：CD=1：3；由于△EBF相似于△CDF，其面积之比等于相似比的平方，得由此得平行四边形ABCD面积为，所以四边形EFDA的面积=.(1)其次，（平行四边形ABCD面积的一班），所以.(2)第三，由于CD=AB=AE+EB,EB:CD=

7、1:3,故AE:CD=AE:AB=2:3,AE:EB=2:1.根据等高三角形面积之比等于其底之比，以及,知道，（3）而△CDG相似于△AEG，相似比为CD：AE=3:2，故DG：EG=3:2，（4）最后，由（1）（2）（4）阴影部分四边形EFHG的面积为：S=四边形EFDA的面积-。（5）答：阴影部分四边形EFHG的面积为【注】也可以由得到。【评分标准】五个等式各占2分。5.将2013个边长完全相同的正方形，按如图所示摆放，其中点分别是正方形的中心。若这2013个正方形重叠形成的阴影部分之间互不重叠，其面积之和为，则这些正方形的边长是多少？12开学网