4第五届启智杯（小学组）真题与详细解析（含评分标准...

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1、2014年第五届启智杯（小学组）真题与详细解析（含评分标准）1.观察如下几个等式：（1）；（2）；（3）；……你发现了什么规律？请据此写出第100个式子。【参考答案】解：第n个式子的分母是前n个连续奇数之和，分子是第n+1至第2n个连续奇数之和，其等号右端都是3。——————————————————————————6分第100个式子为——————————————————+4=10分2.有一个2014位数，其从左到右第2、3位数字分别为2、3，第11、30、2014位数字分别为4、5、6.如果其任何相邻的五位数字之和全相等，请问该数的第一位数字是几？全部2014位数字之和是多少？写出结

2、果，并说明分析过程。【参考答案】第一位数字是4；全部2014位数字之和是8055.解：由于其任何相邻的五位数字之和全相等，所以其中任何连续六位数，总有，因此，这说明，这2014位数每五位一循环。———————————————————+2=6分由于11、30、2014被5除余数分别为1、0、4，所以该数的第一位数字是4（前五位分别是4、2、3、6、5）————————————————————+2=8分由于，所以这整个数为——————————————————+2=10分3．一个非零自然数，如果从左到右顺读和从右到左逆读，都是一样的，则这个数称为“对称数”，如4，55，171，4994，1

3、2321等都是对称数，而332不是对称数。那么全部非零自然数（从1开始）从小到大的第2014个对称数是多少？写出结果，并说明分析的过程。【参考答案】1015101。一位对称数：有9个(1～9)；———————1分两位对称数：有9个(11，22，33，…，99)；———————+1=2分三位对称数：9×10=90个（1□1，2□2，…，9□9）：———————+1=3分四位对称数：9×10=90个（1□□1，2□□2，…，9□□9）；———————+1=4分五位对称数：9×10×10＝900个（1□□□1，2□□□2，…，9□□□9）；—————+1=5分六位对称数：9×10×10＝9

4、00个（1□□□□1，2□□□□2，…，9□□□□9）.共有：9×2＋90×2＋900×2＝1998个。———————+1=6分七位对称数：前10个为1000001，1001001，1002001，…，1009001；———+1=7分接下来的是1010101，1011101，1012101，1013101，1014101，1015101，…———————+1=8分所以，第2014个对称数为1015101.———————+2=10分4．把一张纸片裁剪成8份，称第1次操作；取其中一张再把它裁剪成8份，称第2次操作；如此继续下去，……，能否经过若干次操作正好剪出2014张纸片？若不能，请说

5、明理由；若能，则需要经过多少次操作？写出结果，并说明分析的过程。【参考答案】解：用表示第次操作后得到的纸片数。则，，，……，。———————5分若能剪出2014张纸片，则，解得：不是整数，故不能经过若干次操作正好剪出2014张纸片。———————+5=10分5.有如下三组数：A组：，，，；B组：，，，，；C组：，，，，，，。从每一组中各取一个数，相乘得到一个乘积，求这140个乘积的总和是多少？写出过程和结果。【参考答案】解：这140个乘积的总和=（+++）1+3+5+7+9）++++++）——4分=25———————+2=6分=———————+2=8分==。———————+2=10分

6、6．如图所示，五个圆中有部分的圆彼此相切（两个圆有且只有唯一一个公共点称两个圆相切），且总共只有三种不同长度的直径。若图中阴影部分的面积和为7，求最大圆内空白处的总面积。第6题图【参考答案】解：由图可知：这三种长度的不同的直径从小圆到大圆的长度比为1:2:3.—————2分即由小圆到大圆的面积之比为1:4:9.设最小的圆的面积为，则另外2个圆的面积从小到大依次为，。———————+2=4分依题意图中阴影部分的面积为：，。——————+3=7分则最大圆内空白处的总面积=（）。————+3=10分7．如图所示，正方形和正方形边长分别为和，：=2：5，若的面积是6，求的面积。第7题图【参考

7、答案】解：由：=2：3，，，———————2分如图，连结BF，则,则，从而底为AC的三角形与同底等高，从而面积相等，即：。———————+6=8分所以的面积=（）。———————+2=10分8．通过折纸的手段将一个正方形的每边两等分（对折）、四等分（再对折）、八等分（再对折）等等，都是轻而易举的（如图，虚线为折痕）。请问，你能否在正方形的每边四等分、八等分的基础上，通过折纸将其每边三等分、七等分？能否五等分呢？若能，请在图中用虚线画出你的折痕(用字母标出折