2.11有理数的乘方例题与讲解.doc

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1、2.11　有理数的乘方1．有理数乘方的概念(1)乘方的意义：一般地，n个相同的因数a相乘：，记作an，即＝an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方(或a的n次幂)．(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面：①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即

2、25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如×××××应记作6，不能记作；③

3、一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a就是a1，只是指数1通常省略不写；④an与－an的区别：ⅰ.an表示n个a相乘，底数是a，指数是n，读作：a的n次方．ⅱ.－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同

4、．⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算4时，应将它转化为计算×××的积．【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)；(2)×××；(3)a×a×a×…×a(2011个a)．分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．解：(1)(－8.3)×(

5、－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)＝(－8.3)5；(2)×××＝4；(3)a×a×a×…×a(2011个a)＝a2011.警误区书写乘方的注意事项　当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．2．乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的偶次幂相

6、等；互为相反数的奇次幂互为相反数．如0n＝0(n是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a)2n＝a2n，(－a)2n＋1＝－a2n＋1(n是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a2n≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．谈重点决定乘方结果的符号的因素　有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．【例2】利用有理数乘方运算的符号法则计算：(1)(－3)2；(2)1.53；(3)4；(4)(－1)11；(5)(－1)2

7、；(6)(－1)2n；(7)(－1)2n－1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．解：(1)(－3)2＝3×3＝9；(2)1.53＝1.5×1.5×1.5＝3.375；(3)4＝×××＝；(4)(－1)11＝－1；(5)(－1)2＝1；(6)(－1)2n＝1；(7)(－1)2n－1＝－1.3．有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数

8、相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果．因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前