高中数学 第一章 导数及其应用 1_3_2 利用导数研究函数的极值课堂探究 新人教b版选修2-21

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1、高中数学第一章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值课堂探究新人教B版选修2-2探究一利用导数求函数的极值求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，不是极值．另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值．【典型例题1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝1＋3x－x3；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝x2·e－x.思路分析：按照求极值的方法，首先从方程f′(x)＝0入手，求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义

2、判断并求值．解：(1)函数定义域为R，且f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－13所以f(x)在x＝－1处取极小值－1，在x＝1处取极大值3.(2)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝＝，令f′(x)＝0，得x＝，且当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，所以f(x)在x＝处取得极大值f()＝，无极小值．(3)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝x(2－x)e－x，

3、令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2从表中可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e－2.探究二利用导数求函数的最值1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，求f(x)在区间[a，b]上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小，即可判定最大(或最小)的函数值

4、，就是最大(或最小)值．3．求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论．4．求函数在开区间上的最值时，要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况，从而画出函数的大致图象，结合图象求出最值．【典型例题2】求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3－2x2＋1，x∈[－1,2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈；(3)f(x)＝－x.思路分析：按照求函数最值的步骤求解，其中(3)要注意结合函数图象．解：(1)f′(x)＝3x2－4x，令f′(x)＝0，有3x2－4x＝0，解得x＝0或

5、x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)02f′(x)＋0－0＋f(x)－21－1从上表可知，最大值是f(0)＝f(2)＝1，最小值是f(－1)＝－2.(2)f′(x)＝2cos2x－1，x∈，令f′(x)＝0得x＝－或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－－f′(x)－0＋0－f(x)－－－由上表可知：当x＝－时f(x)取得最大值f＝，当x＝时f(x)取得最小值f＝－.(3)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x2＝1－lnx，显然x＝1是方程的解．令g(x)＝x2＋

6、lnx－1，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2x＋＞0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴x＝1是方程f′(x)＝0的唯一解．∵当0＜x＜1时，f′(x)＝－1＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，∴当x＝1时，函数f(x)有最大值，且最大值是f(1)＝－1，函数无最小值．点评本例(3)中，为了说明x＝1是方程f′(x)＝0的唯一根．又构造了函数g(x)，通过求导分析其单调性从而说明根的唯一性，这种方法在导数应用中经常使用．探究三根据函数的极值与最值求参数值1．已知函数的极值或最值求参数值时

7、，主要根据极值点处的导数值为0和已知的极值，列出方程(组)，利用待定系数法求解；同时应注意：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解．3．有些含参数的问题，需要对参数进行分类讨论求解．【典型例题3】(1)若函数f(x)＝ax3＋bx－4在x＝1处取得极值，且极值为0，求实数a，b的值．(2)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a≠0)，问是否存

8、在实数a，b使f(x)在区间[－1,2]上取得最大值