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《高中数学第三章导数及其应用33导数的应用332利用导数研究函数的极值课堂探究新人教》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3.2利用导数研究函数的极值课堂探究探究一求函数的极值解决求函数的极值问题，按照求函数极值的一般步骤求解即可，解答此类问题要注意,f(力=0只是函数在心处有极值的必要条件，只有再加上心左右两侧导数值异号，才能判断函数在心处取得极值.函数代劝在某个区间上连续时，它的极值点分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，即极大值点与极小值点是交替出现的.【典型例题1】求下列函数的极值：(l)y=f{x)=3x—x+；(2)f{x)=xe思路分析：首先对函数求导，求得F3,然后求方程尸匕)=
2、0的根，再检验方程根的左右两侧导数尸(力的符号.如果左正右负，那么fd)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么代劝在这个根处取得极小值.解：(l)y'=9#—1,令y'=0,解得%i=
3、,X2=~y当/变化时，/和y的变化情况如下表：X-{I1_313y，+0—0+y单调递增极大值普单调递减7极小值§单调递增因此，当/=一+时，y有极大值，并且y极大值=普.17而当/=§时，y有极小值，并且y极小值=§•(2)函数的定义域为R.f(%)=2xex+x•ex=ex•x(2+x),令尸(x)=0,得x=0或x=_2.当x变化时，尸(0,f
4、(0的变化情况如下表:X(—g,—2)—2(—2,0)0(0,+°°)f(0+0—0+f3单调递增4极大值re单调递减极小值0单调递增由上表可以看出，当/=0时，函数有极小值，且f(0)=0.4当x=_2时，函数有极大值，且A-2)=-e探究二求函数的最值利用导数求函数的最值，实质是通过比较某些特殊的函数值来得到最值，因此我们在用导数求极值的基础上进行变通.令f(%)=0得到方程的根屈,血…,直接求得函数值fd),HQ,…，然后与端点的函数值比较就可以了，也可以用导数法与函数的单调性相结合求最值.【典型例题2】求下列函数的最值：⑴f3=
5、—#+3x,[—寸；(2)fx)=—x+2x+3,[—3,2].思路分析：使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较.解：(1)尸(%)=-37+3.令尸(%)=—3(/—1)=0,得x=±1,f(l)=2,A-l)=-2,f(Jl)=0.故fx)的最大值为2,最小值为一2.(2)f(x)=—3,+4x,4由尸(%)=%(4—3%)=0,得x=0,或当x变化时，f(方及f(x)的变化情况如下表:X-3(—3,0)0<4)1°'3；43<4>62J2f3—0+0——f348□极小值3□极大<113但27□3故当x=-3时，fd)取最大
6、值48；当x=0或无=2时，厂(方取最小值3.探究三求参数的取值C知函数的极值确定函数的系数问题为逆向思维的问题.解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题.【典型例题3】设函数Hx)=2日x—#+lnx,若f(x)在x=l,处取得极值，(1)求a,方的值;（2）在I，2上存在心使得不等式/U）—cWO成立，求c的最小值.思路分析：（1）可以由条件列出关于自，方的方程组求解；（2）存在心使不等式c2心成立，含义是函数fd）的图象上至少有一点在直线尸c
7、的下方，也就是说只需cmin.解：（1）因为f（x）=2ax—-+In因为f3在心1,心*处取得极值,所以尸（1）=0,r代匸解得[2d+4b+2=0,]_3J_3所以曰，0的值分别为一扌，（2）在*2上存在必，使得不等式f（Ad）—0成立，只需C由⑴知=—刍+丄+lnx.3「，/、21.1由F（X）=—~—T-2+—33%x2,—3卄1（2才一1）（才一1）=—2=—7~23%3%所以当/丘£■,另时,faxo,故心）在上单调递减;当圧g，J时，尸（方＞0,故代方在g，J上单调递增;当,Ye（1,2）吋，尸Cy）＜0,故fd）在（1,
8、2）上单调递减.所以石）是2］上的极小值，m/G）=3+ln2=3_lri2'又e3-16>0,所以lne2—In4>0,所以在+，2上fCr)min=f(2),7所以c>/'(x)min=—-+ln2.所以c的取值范围为一右+ln2,+s)7所以Q的最小值为一云+ln2.6探究四易错辨析易错点忽视对极值点的验证【典型例题4】已知函数/(%)=x—ax—bx+a在x=l处有极值10,求臼，b的值.错解：f‘(0=3/—2"—b.由题意得3—2a—方=0,1—a—Z?+a2=10,解得臼=3,b=_3臼=—4,方=11.错因分析：在％=1
9、处有极值10,则x=l是尸(方=0的根.但f(x)=0的根并不一定是极值点，故对求得的参数的值要进行验证是否满足在%=1处有极值.正解：F(^)=3x'—2ax—b.由题意得3—2&—方=0,1—a—Z?+
