高中数学 第一章 导数及其应用 1_3_1 利用导数判断函数的单调性课堂探究 新人教b版选修2-21

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1、高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性课堂探究新人教B版选修2-2探究一利用导数判断或证明函数的单调性1．利用函数单调性的定义判断或证明函数的单调性时，过程较为烦琐，但借助导数，只需分析函数导数值的正负即可，因此应善于借助导数研究函数的单调性．2．利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性．如果解析式中含有参数，应进行分类讨论．1【典型例题1】(1)函数f(x)＝2x＋在下列哪个区间上是单调递减的()x11，10，A．(1，＋∞)B.2C.2D．(－3,0)πsin

2、x，π(2)证明函数f(x)＝在2上单调递减．xπ，π思路分析：(1)只需分析哪个区间上的导数值恒小于0即可；(2)要证f(x)在2上π，π单调递减，只需证明f′(x)＜0在区间2上恒成立即可．1110，20，1(1)解析：因为f′(x)＝2－，所以当x∈2时，x∈4，∈(4，＋∞)．22xx110，f′(x)＝2－＜0，这时f(x)在2上单调递减，故选C.2x答案：Csinx(2)证明：因为f(x)＝，xsinx′x－sinx·x′xcosx－sinx所以f′(x)＝＝.22xxπ，π由于x∈2，所以cosx＜0，sinx＞0，因此xcosx－sinx＜0，π，

3、π故f′(x)＜0，所以f(x)在2上单调递减．探究二利用导数求函数的单调区间1．利用导数求函数单调区间的步骤如下：(1)求函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．2．与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比，利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行，其实质是转化为解不等式问题，但也必须首先考查函数的定义域，在定义域内解不等式．另外，利用导数往往适合求一些高次函数的单调区间，其单调区间有时不止一个，这时在写出它们的单调区间时，不能将各

4、个区间用并集符号连接．3．当函数f(x)的解析式中含有参数时，求单调区间可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间．【典型例题2】求下列各函数的单调区间：32(1)f(x)＝2x－3x；lnx(2)f(x)＝；x1(3)f(x)＝cosx＋x，x∈(0，π)；2x(4)f(x)＝e＋ax.思路分析：可按照求函数单调区间的步骤进行求解，其中(1)要注意单调区间的写法；(2)要注意导数的求法；(3)要注意正弦函数的性质；(4)要注意对参数a进行讨论．2解：(1)函数定义域为R，且f′(x)＝6x－6x.2令f′(x)＞0，即6x－6x＞0.解得x＞1或x＜0；2令f

5、′(x)＜0，即6x－6x＜0，解得0＜x＜1.所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)；单调递减区间是(0,1)．1－lnx(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.2x1－lnx令f′(x)＞0，即＞0，得0＜x＜e；2x1－lnx令f′(x)＜0，即＜0，得x＞e，2x所以f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，＋∞)．1(3)函数f(x)的定义域为(0，π)，且f′(x)＝－sinx.21令f′(x)＞0，即－sinx＞0，2π5π解得0＜x＜或＜x＜π；661π5π令f′(x)＜0，即－sinx＜0，解得＜x

6、＜.266π5ππ5π0，，π，故f(x)的单调递增区间是6和6，单调递减区间是66.x(4)函数定义域为R，且f′(x)＝e＋a.x①当a≥0时，f′(x)＝e＋a＞0恒成立，f(x)在R上单调递增；xx②当a＜0时，由f′(x)＝e＋a＞0，得e＞－a，所以x＞ln(－a)，xx由f′(x)＝e＋a＜0，得e＜－a，所以x＜ln(－a)．所以f(x)在(ln(－a)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(－a))上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a＜0时，f(x)的单调递增区间是(ln(－a)，＋∞)，单调递减

7、区间是(－∞，ln(－a))．探究三已知函数的单调性求参数的取值范围1．已知函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型．在某个区间上，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，f(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是不够的，即还有可能f′(x)＝0也能使得f(x)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．2．已知函数f(x)是增函数(减函数)求函数解析式中参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后再检验参数的取值能否使f′

8、(x)恒等