高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课堂导学案新人教b版选修1

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1、3.3.1利用导数判断函数的单调性课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例1】求下列函数的单调区间.(1)y=x4-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析：求出导数y′,分别令y′>0或y′<0,解出x的取值范围，便可得出单调区间.解：(1)y′=4x3-4x,令y′>0,即4x3-4x>0，解得-11,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+∞).令y′<0,解得x<-1或00，即4x->0，解得-;令y′<0,即

2、4x-<0，解得x<-或00,∴单调增区间为(，+∞)，单调减区间为(0，).温馨提示在求单调区间时，一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例2】若函数f(x)=+(a-1)x+1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，+∞)上为增函数，试求实数a的取值范围.解析：函数f(x)的导数f′(x)=x2-ax+a-1.令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时，函数f(x)在(1，+∞)上为增函数，不合题意.当a-1>1,即a>2时，函数f(x)在(-∞，1)上为增函数，在(1，a-1)内

3、为减函数，在(a-1,+∞)上为增函数.依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0;当x∈(6,+∞)时，f′(x)>0.所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.所以a的取值范围是［5,7］.温馨提示本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式【例3】当x∈(0,)时，证明tanx>x.思路分析：首先构造函数f(x)=tanx-x,然后判断f(x)在(0，)上的单调性.证明：设f(x)=tanx-x,x∈(0,).∴f′(x)=(∴f(x)在(0,)上为增函数.又∵

4、f(x)=tanx-x在x=0处可导且f(0)=0,∴当x∈(0,)时，f(x)>f(0)恒成立，即tanx-x>0，∴tanx>x.温馨提示对于tanx的导数，没有导数公式可用，可先变换成sinx、cosx的导数，然后根据运算法则求导.各个击破类题演练1证明函数f(x)=ex+e-x在［0,+∞)上是增函数.证明：f′(x)=(ex)′+()′=ex+(-)=ex-e-x=,∵当x∈［0,+∞)时，ex≥1,∴f′(x)≥0.∴f(x)=ex+e-x在［0,+∞)上为增函数.变式提升1设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值

5、范围，并求其单调区间.解：f′(x)=3ax2+1.若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾，若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞)，f(x)也只有一个单调区间，与已知矛盾，若a<0,∵f′(x)=3a，此时f(x)恰有三个单调区间；即单调减区间(-∞,-)、(,+∞)和单调增区间(-,).因此，a的取值范围是(-∞,0).类题演练2函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在(　　)A.第Ⅰ象限B.第Ⅱ象限C.第

6、Ⅲ象限D.第Ⅳ象限解：设g=f′(x)=kx+b(k<0,b>0),则y=f(x)=ax2+bx+c;则f′(x)=2ax+b,由此可知a<0,b>0，又因为函数y=f(x)图象过原点，所以c=0,故y=ax2+bx+c的顶点：x=->0,y=>0，故选A.答案：A变式提升2当a取何值时，函数f(x)=x3+(a-1)x2+2x+1在区间(-∞,+∞)内是增函数？解：f′(x)=(a2-1)x2+2(a-1)x+2因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数，∴f′(x)=(a2-1)x2+2(a-1)x+2≥0恒成立.当a=1时，f′(x)=2

7、>0,恒成立.当a=-1时，f′(x)=-4x+2,f′(x)≥0不恒成立.当a≠±1时，应有解得a>1或a≤-3综上可知a≥1或a≤-3.类题演练3求证：2>3-(x>1)证明：令f(x)=2-3+,则f′(x)=.∵x>1时，x2>x>0.∴∴f′(x)=>0.∴f(x)在(1,+∞)上为增函数.∴当x>1时，f(x)>f(1)=2-3+1=0.∴当x>1时，2>3-.变式提升3x≠0,求证ex>1+x证明：令f(x)=ex-1-x,f(0)=e0-1-0=0,f′(x)=ex-1.①当x>0时，f′(x)=ex-1>0，即f(x)在(

8、0，+∞)上为增函数，∴f(x)>f(0),即ex-1-x>0,即ex>1+x.②当x<0时，f′(x)=ex-1<0即f(x)在(-∞,0)上为减函数，∴f(x)>f(0).即