高中数学第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性学案新人教b版选修1

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1、3．3.1　利用导数判断函数的单调性1．理解在某区间上函数的单调性与导数的关系．(难点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．能够根据函数的单调性求参数．(难点)[基础·初探]教材整理　函数的单调性与导数阅读教材P93例1以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”

2、(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)(4)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件．(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______

3、______________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：___________________________________________________

4、__解惑：_______________________________________________________[小组合作型]求函数的单调区间　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2lnx；(3)f(x)＝x2＋alnx(a∈R，a≠0).【导学号：25650121】【精彩点拨】　在定义域内解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，确定单调区间．【自主解答】　(1)函数的定义域为R，∵f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＞0，解得x＞1或x＜.因此f

5、(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)．令f′(x)＜0，解得＜x＜1.因此f(x)的单调递减区间是.(2)函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)＞0，即2·＞0，解得－＜x＜0或x＞.又x＞0，∴x＞；令f′(x)＜0，即2·＜0，解得x＜－或0＜x＜，又x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋.①当a＞0时，f′(x)＝x＋＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)；②当a＜0时，由f′(x)＝x＋＞0，得x＞；由f′(x)＝x＋

6、＜0，得0＜x＜，所以当a＜0时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是(0，)．综上，当a＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＜0时，单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使f′(x)＝0，其余点恒有f′(x)＞0(f′(x)＜0)，则f(x)仍为增函数(减函数)．[再练一题]1．(1)(2016·惠州高二检测)函数y＝x3－x2－x的单调递

7、增区间为(　　)A.和(1，＋∞)　　B.C.∪(1，＋∞)D.(2)函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为________．【解析】　(1)y′＝3x2－2x－1，令y′>0，得x<－或x>1，所以函数的单调递增区间为和(1，＋∞)．(2)令f′(x)＝1－2cosx>0，则cosx<，又x∈(0，π)，解得

8、知，在[a，b]上，f′(x)＞0.故f(x)在[a，b]上单调递增，又在上，

9、f′(x)

10、越来越大，则f(x)在上增长越来越快，在上，

11、f′(x)

12、越来越小，则f(x)在上增长越来越慢，故选