高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性学案 新人教b版选修1-1

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1、3.3.1　利用导数判断函数的单调性1．通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系．2．会利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性．用函数的导数判断函数单调性的法则设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，1．如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数；2．如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数．此法则只说明函数y＝f(x)在某区间上f′(x)＞0(或＜0)是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件，但并非必要条件．【做一做1－1】若函数y＝f(x)的导函数f′(x)在(a，b)

2、上恒大于0，则函数y＝f(x)在(a，b)上是__________函数(填“增”或“减”)．【做一做1－2】函数y＝f(x)的导函数f′(x)＜0在(1,2)上恒成立，则区间(1,2)是函数y＝f(x)的__________区间(填“增”或“减”)．利用求导的方法求函数的单调区间、判断函数的单调性需注意哪些问题？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分区间时，除了必须注意确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续

3、点和不可导点．题型一函数的图象与导数的关系【例1】已知导函数f′(x)的下列信息：当1＜x＜4时，f′(x)＞0；当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．分析：题中给出的信息是函数y＝f(x)在实数集R上的部分，根据导函数的正负，画出曲线的一个上升或下降的趋势即可．反思：本题考查函数单调性与导数的关系．知道导数在区间上的符号(正、负)，可知函数在此区间上的单调性，进而可画出其大致图象．题型二求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－3x＋3；(2)f

4、(x)＝x(ex－1)－x2.分析：利用函数单调性判定法则解题．反思：求函数f(x)单调区间的方法和步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)确定f(x)的单调区间．温馨提示：函数的单调区间之间不能用“或”，“∪”联结．题型三易错题型【例3】(1)求函数f(x)＝x＋的单调区间；(2)已知f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．(1)错解：f′(x)＝1－.令1－＞0，解得x＞1或x＜－1.因此，f(x)的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．令1

5、－＜0，解得－1＜x＜1.因此，f(x)的减区间为(－1,1)．错因分析：没有注意到函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)错解：f′(x)＝1－.由题意得1－＞0在[1，＋∞)上恒成立，即a＜x2在[1，＋∞)上恒成立．因为x2在[1，＋∞)上的最小值为1，所以a＜1，即a的取值范围为(－∞，1)．错因分析：f(x)在[1，＋∞)上是增函数时，导函数f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立；而错解用了f(x)在[1，＋∞)上是增函数时，f′(x)＞0在[1，＋∞)上恒成立．1函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调增区间为(　　)

6、A．(a，x1)B．(x2，b)C．(a，x1)∪(x2，b)D．(a，x1)和(x2，b)2在区间(a，b)内，f′(x)＜0是f(x)在(a，b)上是减函数的(　　)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3函数f(x)＝x3－3x2＋9的单调增区间为__________．4若函数f(x)＝x3＋ax2＋4在区间(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为__________．5函数f(x)＝xlnx的单调递减区间为__________．答案：基础知识·梳理1．f′(x)＞0　2．f′(x)＜0【做一做1－

7、1】增【做一做1－2】减典型例题·领悟【例1】解：当1＜x＜4时，f′(x)＞0，可知f(x)在区间(1,4)上是增函数，曲线应呈“上升”趋势；当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0，可知f(x)在区间(－∞，1)和(4，＋∞)上是减函数，曲线应呈“下降”趋势；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．【例2】解：(1)f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝3(x＋1)(x－1)．令3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.因此，f(x)的增区间为(－∞，－1

8、)和(1，＋∞)．令3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.因此，f(x)的减区间为(－1,1)．(2)f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．令(ex－