高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性教学案 新人教B版选修.doc

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1、3．3.1　利用导数判断函数的单调性[学习目标]　1.掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．[知识链接]以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？答：根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小

2、于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．[预习导引]1．函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内由函数的导数求单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)在区间(a，b)内由函数的单调性求导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零单调递减f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零常数函数f′(x)＝02.一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变

3、化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”.要点一　利用导数判断函数的单调性例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．证明　f′(x)＝，又x∈，则cosx<0，sinx>0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．规律方法　关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f′(x)≥(或≤)0.跟踪演练1　证明：函数f(x

4、)＝在区间(0，e)上是增函数．证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.又00，故f(x)在区间(0，e)上是增函数．要点二　利用导数求函数的单调区间例2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(00得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)<0解得－3

5、∞)；减区间是(－3,2)(2)f′(x)＝cosx－1.因为00，即2·>0，解得－.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或00，∴00，得3x2－3t>0，即x2>t，∴当t≤0时，f′(x)≥0恒成立，且f′(x)在R的任何子区间

6、上都不恒为零，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，令f′(x)>0得，x>或x<－，令f′(x)<0得－0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．跟踪演练2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx;(2)f(x)＝x3－x2－x.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝

7、2x－，由f′(x)＝2x－>0且x>0，得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0且x>0得00得x<－或x>1；由f′(x)<0得－＜x＜1，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－，1)．要点三　已知函数单调性求参数的取值范围例3　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．解　f′(x)＝2x－＝.要使f(x)

8、在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．