2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性学案（含解析）新人教B版选修1 -1

《2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性学案（含解析）新人教B版选修1 -1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3．3.1　利用导数判断函数的单调性学习目标　1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一　函数的单调性与其导数正负的关系思考　f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，那么f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？答案　当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.总结　(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单

2、调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.知识点二　函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x

3、)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　×　)2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　×　)3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　√　)题型一　利用导数判断函数的单调性例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．证明　∵f′(x)＝，又x∈，则cosx<0，sinx>0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．反思感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注

4、意，f(x)单调递增(或递减)，则f′(x)≥(或≤)0.跟踪训练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.又00，故f(x)在区间(0，e)上是增函数．题型二　利用导数求函数的单调区间命题角度1　不含参数的函数求单调区间例2　求f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．解　f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－＝＝，由x>0，解f′(x)>0，得x>，由x＞0，解f′(x)<0，得0

5、　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域．(2)求导数y′＝f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，得x<3，又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－

6、∞，2)，(2,3)．命题角度2　含参数的函数求单调区间例3　讨论函数f(x)＝x2－alnx(a≥0)的单调性．解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝.设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0，当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0.所以当a>0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上，当a＝0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在上单调

7、递增，在上单调递减．反思感悟　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－(a＋m)x＋alnx，且f′(1)＝0，其中a，m∈R.(1)求m的值；(2)求函数f(x)