2019高中数学第1章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性学案新人教B版选修2

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1、1.3.1　利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性．2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a，b)内，f′(x)＞0，则f(x)在此区间是______，(a，b)为f(x)的单调增区间；2．如果在(a，b)内，f′(x)＜0，则f(x)在此区间是______，(a，b)为f(x)的单调减区间．(1)在(a，b)内，f′(x)＞0(＜0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f(x)在(a，b)

2、内是增(减)函数的充要条件是在(a，b)内f′(x)≥0(≤0)，并且f′(x)＝0在区间(a，b)上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f(x)＝1＋x－sinx，x∈(0,2π)，则函数f(x)(　　)．A．在(0,2π)上是增函数B．在(0,2π)上是减函数C．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x)是函数f(x)的导数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象最有可能是(　　)．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖

3、析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性

4、的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；　　(2)f(x)＝x　(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′

5、(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1

6、，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f(x)＝2x2－lnx的单调减区间．

7、错解：f′(x)＝4x－＝，令＜0，得x＜－或0＜x＜，所以函数f(x)的单调减区间为，.1在区间(a，b)内f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内为增函数的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数(　　)．A．B．(π，2π)C．D．(2π，3π)3若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d为增函数，则一定有(　　)．A．b2－4ac≤0B．b2－3ac≤0C．b2－4ac≥0D．b2－3ac≥04如果函数f(x)＝－x3＋bx(

8、b为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b的取值范围是__________．5函数y＝－x3＋x2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理1．增函数2．减函数【做一做1－1】A　f′(x)＝1－cosx，当x(0,2π)时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)在(0,2π)上