2018版高中数学人教b版选修2-2学案：1.3.1 利用导数判断函数的单调性

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案1．3.1　利用导数判断函数的单调性明目标、知重点　1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．函数的导数与单调性的关系1．由区间(a，b)内函数的导数的符号判断函数的单调性：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数2.若函数f(x)在(a，b)内存在导函数且单调递增(递减)，则对一切x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)任一子区间内f′(x

2、)不恒为零．3．利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间．当函数y＝f(x)有多个单调区间时，不能用“∪”或“或”把单调区间连起来，而应用“，”或“和”连起来．[情境导学]以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1

3、考1　观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．　　答　(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答　(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数

4、；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．小结　一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3　若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答　不一定．对于任意x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)的任何一子区间内f′(x)

5、恒等于零．函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．思考4　如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？82017-2018学年人教B版高中数学学案试写出思考2中(4)的单调区间．答　不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．例1　已知导函数f′(x)的下列信息：当10；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解　当10，可知f(x)在此区间内单调递增；

6、当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟　本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1　函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．解　f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0

7、4)f(x)＝3tx－x3解　(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)>0得x<－3，或x>2，由f′(x)<0解得－30，即2·>0，解得－<