高中数学 第一章 导数及其应用 1_2 导数的运算课堂探究 新人教b版选修2-21

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1、高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算课堂探究新人教B版选修2-2探究一导数公式与导数运算法则的简单应用1.应用导数的定义求导,是求导数的基本方法,但运算较烦琐,而利用导数公式求导数,可以简化求导过程,降低运算难度,是常用的求导方法.2.利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公式.有时还要先对函数解析式进行化简整理,这样能够简化运算过程.【典型例题1】求下列函数的导数:(1)y=x; (2)y=x4-;(3)y=sinx+3x; (4)y=cosx·lnx;(5)y=(x-1)(x-2)(x-3); (6)y=.思路分析:分析每个函数

2、的结构特点,紧扣求导运算法则和基本初等函数的导数公式求导,必要时应对函数解析式进行恒等变形.解:(1)y′=(x)′=()′=·=;(2)y′=′=4x3+;(3)y′=(sinx+3x)′=cosx+3xln3;(4)y′=(cosx·lnx)′=-sinx·lnx+cosx·=-sinx·lnx;(5)方法1:y′=[(x-1)(x-2)(x-3)]′=[(x-1)(x-2)]′(x-3)+(x-1)(x-2)(x-3)′=[(x-1)′(x-2)+(x-1)(x-2)′](x-3)+(x-1)(x-2)=(x-2+x-1)(x-3)+(x-1)(x

3、-2)=3x2-12x+11.方法2:由于(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-3x+2)(x-3)=x3-6x2+11x-6,所以y′=[(x-1)(x-2)(x-3)]′=(x3-6x2+11x-6)′=3x2-12x+11.(6)方法1:y′=′===;方法2:由于y==1-,于是y′=′=-=.探究二利用导数公式和运算法则求复杂函,数的导数1.对于函数求导问题,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,必须注意变换的等价性,避免不必要的运算错误.2.若要求导的函数解

4、析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,然后再套用公式求导.【典型例题2】求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=4+4;(3)y=;(4)y=xln.思路分析:对于较为复杂,不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数,可先对函数进行适当的变形与化简,然后,再运用相关的公式和法则求导.解:(1)y==x2+x3+x4,∴y′=4x3+3x2+2x.(2)y=2-2sin2cos2=1-sin2=1-·=+cosx,∴y′=′=-sinx.(3)y===cosx-sinx,∴y′=(cosx-sinx)′=-sinx-co

5、sx.(4)y=xln=xlnx,∴y′=(x)′·lnx+x·(lnx)′=lnx+.探究三复合函数的求导1.复合函数的求导法则如下:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′(其中yx′表示y对x的导数).即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.2.复合函数的求导应注意以下几点:(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的,而其中要特别注意的是中间变量的导数.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,

6、求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数的求导过程熟练后,中间步骤可以省略不写.【典型例题3】求下列函数的导数:(1)y=(3x-1)2; (2)y=ln(5x+2);(3)y=2x+1; (4)y=sin;(5)y=cos2x.思路分析:抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键,解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数,再运用复合函数求导法则.解:(1)设y=u2,u=3x-1.则y′=y′u·u′x=2u·3=6(3x-1)=18x-6;(2)设y=lnu,u=5x+2,则y′=y′u·u′x=·5=;(3)设y=u

7、,u=2x+1.则y′=y′u·u′x=uln·2=-2x·ln2;(4)设y=sinu,u=2x-,则y′=y′u·u′x=cosu·2=2cos;(5)y=cos2x=,设y=cosu+,u=2x,则y′=y′u·u′x=-sinu·2=-sin2x.探究四导数运算的综合问题从导数运算的特点及规律出发,可以将导数运算与其他数学问题有机地联系起来,从而获得问题的简单、巧妙的解法.【典型例题4】用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2014x2013(x≠0,x≠1).思路分析:从幂函数的求导法则入手,结合所求和式的特点求解.解:设f(x)=1

8、+2x+3x2+…+2014x2013,g(x)=x+x2+x3+…+x2014

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