高中数学 第一章 导数及其应用 1_2 导数的运算课堂探究 新人教b版选修2-21

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1、高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算课堂探究新人教B版选修2-2探究一导数公式与导数运算法则的简单应用1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．【典型例题1】求下列函数的导数：(1)y＝x；　(2)y＝x4－；(3)y＝sinx＋3x；　(4)y＝cosx·lnx；(5)y＝(x－1)(x－2)(x－3)；　(6)y＝.思路分析：分析每个函数

2、的结构特点，紧扣求导运算法则和基本初等函数的导数公式求导，必要时应对函数解析式进行恒等变形．解：(1)y′＝(x)′＝()′＝·＝；(2)y′＝′＝4x3＋；(3)y′＝(sinx＋3x)′＝cosx＋3xln3；(4)y′＝(cosx·lnx)′＝－sinx·lnx＋cosx·＝－sinx·lnx；(5)方法1：y′＝[(x－1)(x－2)(x－3)]′＝[(x－1)(x－2)]′(x－3)＋(x－1)(x－2)(x－3)′＝[(x－1)′(x－2)＋(x－1)(x－2)′](x－3)＋(x－1)(x－2)＝(x－2＋x－1)(x－3)＋(x－1)(x

3、－2)＝3x2－12x＋11.方法2：由于(x－1)(x－2)(x－3)＝(x2－3x＋2)(x－3)＝x3－6x2＋11x－6，所以y′＝[(x－1)(x－2)(x－3)]′＝(x3－6x2＋11x－6)′＝3x2－12x＋11.(6)方法1：y′＝′＝＝＝；方法2：由于y＝＝1－，于是y′＝′＝－＝.探究二利用导数公式和运算法则求复杂函,数的导数1．对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．2．若要求导的函数解

4、析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，然后再套用公式求导．【典型例题2】求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝4＋4；(3)y＝；(4)y＝xln.思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．解：(1)y＝＝x2＋x3＋x4，∴y′＝4x3＋3x2＋2x.(2)y＝2－2sin2cos2＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，∴y′＝′＝－sinx.(3)y＝＝＝cosx－sinx，∴y′＝(cosx－sinx)′＝－sinx－co

5、sx.(4)y＝xln＝xlnx，∴y′＝(x)′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋.探究三复合函数的求导1．复合函数的求导法则如下：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′(其中yx′表示y对x的导数)．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．2．复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，

6、求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可以省略不写．【典型例题3】求下列函数的导数：(1)y＝(3x－1)2；　(2)y＝ln(5x＋2)；(3)y＝2x＋1；　(4)y＝sin；(5)y＝cos2x.思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．解：(1)设y＝u2，u＝3x－1.则y′＝y′u·u′x＝2u·3＝6(3x－1)＝18x－6；(2)设y＝lnu，u＝5x＋2，则y′＝y′u·u′x＝·5＝；(3)设y＝u

7、，u＝2x＋1.则y′＝y′u·u′x＝uln·2＝－2x·ln2；(4)设y＝sinu，u＝2x－，则y′＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cos；(5)y＝cos2x＝，设y＝cosu＋，u＝2x，则y′＝y′u·u′x＝－sinu·2＝－sin2x.探究四导数运算的综合问题从导数运算的特点及规律出发，可以将导数运算与其他数学问题有机地联系起来，从而获得问题的简单、巧妙的解法．【典型例题4】用导数的方法求和：1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋2014x2013(x≠0，x≠1)．思路分析：从幂函数的求导法则入手，结合所求和式的特点求解．解：设f(x)＝1

8、＋2x＋3x2＋…＋2014x2013，g(x)＝x＋x2＋x3＋…＋x2014