7.4等差等比数列的应用（）

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn7.4等差等比数列的应用(2)【知识网络】1、运用等差、等比数列的知识，解决数列实际问题模型；2、运用等差、等比数列的知识，用切合实际意义的语言表述问题的解；3、解决数列有关综合性问题。【典型例题】例1：（1）北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1．14=1．461．15=1．61）（）A．20%B．18．8%C．16．4%D．10%

2、答案:C。解析：设2003年底更新的车辆为x，总更新车辆数为a，则。（2）一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为（）A、三个月B、一个月C、10天D、20小时答案:D。解析，每小时传递人数构成数列2，4，8……所以n小时共传递人数，∴小时。（3）数列前n项的和为（）A．B．C．D．答案:B。解析：（4）某厂在1997年底制定生产计划，要使2007年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为_________________,答案:

3、。解析：令97年底的产量为1，则2007年底的产量为4，则。（5）楼梯共n级，每步只能上1级或2级，走完这n级楼梯共有种不同的走法，则的关系式为。答案：。解析：第n+1级楼梯只能由第n级及第级楼梯上来。例2：．等比数列共有偶数项，且所有项之和是奇数项之和的3倍，前3项之积等于27，求这个等比数列的通项公式。答案:S=3S奇S奇+qS奇=3S奇q=2又（aq）3=27∴aq=3a1=∴an=·2n-1=3·2n-2例3：某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始

4、获利；（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算？答案:（1）由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数n的关系为f（n），则…．由题知获利即为f（n）＞0，由，得．∵nN，∴n＝3，4，5，…，17．即第3年开始获利．（2）方案一：年平均收入．由于，当且仅当n＝7时取“＝”号．∴（万元）．即前7年年平均收益最大，此时总收益为12×7＋26＝110（万元）．方案二：f（n）＝＋40n-98＝-2＋102．当n＝10时，

5、f（n）取最大值102，此时总收益为102＋8＝110（万元）．比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n＝7，故选方案一．例4：设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=03,lg3=04)答案:设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有化简得设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)=nlga1+n(n－1)·lgq=n(

6、2lg2+3lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n可见，当n=时，Sn最大而=5,故{lgan}的前5项和最大【课内练习】1．已知数列满足（nN*），则=（）A．B．0C．D．答案:D。解析：∵从而知3为最小正周期，从而。2．数列的前项和为，若，则这个数列一定是()A．等比数列B．等差数列C．从第二项起是等比数列D．从第二项起是等差数列答案:A。解析：由得时，，即为等比数列。3．若数列的前8项的值各异，且对任意都成立，若，则下列数列中可以取遍的8项的值的数列为（）A．B．C．D．答案:B。解析：通过分析即可得。4．

7、已知是递增数列,且对任意都有恒成立,则实数的取值范围是。答案。解析：当时，恒成立，∴5．一个凸n边形的内角成等差数列，公差为20度，且最小内角为60°，则凸n边形的边数为。答案：4或9。解析：或9。6.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成：。答案:512个。解析：形成的数列为1，2，4，8……7．正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．(1)试求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<．解析:（1）∵an>0，，∴，则当n≥2时，即，而an>0，∴又

8、（2）8．已知数列中，a1=，以an-1，an为系数的二次方程：an－1x2－anx+1=0都有实根、，且满足3－+3=1。①求证：｛a－｝是等比数列