专题十四探索性问题学生版

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1、2011届高考数学二轮专题十四探索性问题如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统,那么把这四个要素中冇两个是未知的数学问题称Z为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的革木特征.近年來，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下儿类：(1)条件探索型问题：从给定的问题结论出发,追溯结论成立的充分条件；(2)结论探索型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；(3)规律探索型问题：根据已知条件或所提供的若干个特例,发现题目所蕴含的木质规律与特征；(4)方案设计型探索问题:提出一个数学问题情况，要求考生按要求设计某种方案來解决;⑸存在探索

2、型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；怎样提高解探索问题的能力1.注重双基的训练，夯实基础知识.2.不断提高阅读、理解、观察、分析和归纳等方而的能力.3.注意思维品质的培养，尤其是思维的敏捷性与深刻性.4.增加数学意识，口觉运用数学思想.5.经常总结一些解决探索性问题的方法，积累一些较典型的例题的解法，体会其屮的数学思想、数学方法等.预测2011年数学试卷屮继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也会有所突破，如只猎不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带來了新的理念，这必将促进教学的创新.解决探索性问题,较少

3、现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用•对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求•高考题中一般対这类问题有如下方法：1・直接法2.观察一猜测一证明3.赋值推断4.数形结合5.联想类比6.等价转化7.特殊般——殊(-)条件探索型【例1】试问：当且仅当实数X(),X

4、,X2满足什么条件吋，存在实数y(),yi,y2使得ZO2=Z

5、2+Z22成立，其中Zk=Xk+iyk,i为虚数单位,k=0,l,2,.证明你的结论.【名师点睛】：(1)木题是条件追溯型,由结论先求出结论成立的必要条件，然后再证明其条件是充分的.这是解这类问题的一般方法.(2

6、)木题充分性的证明采川分类讨论及构造法，难度较大.我们如果对此题继续探索研究,不难发现.当在x02=x12+x22时，这时要使不等式(x12+x22)(y12+y22)=(Xiyi+x2y2)2只要使玉=亘即可，故取法不唯一，即如果y(),y】,y2满足条件，则入y(),入yi,入y?也满足条件•当在x()2

7、2+X22+---+xn2(nN2)时，存在实数yo,y】,…,y】〕,使得zo2=Z]2+z22+•••+zn2成立，其中zk=xk+iyk,k=0,

8、1,2,--,n,i为虚数单位.反之亦成立.(-)结论探索问题结论探索问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论，需要解题者去探索符合条件的一类试题.这类探索问题的设问常以适合某种条件的结论“成立”、“不成立”、“是否成立”等语句加以表述，或直接问“冇何结论”等.它与传统题的区别在于：探索问题的结论往往也是解题过程.【例2】已知函数y=兀+纟有如下性质：如果常数a>0,那么该函数在（0,］上是减函数，在［需,+°°）上是增函数.2b（1）如果函数y=兀+—（%>0）的值域为［6,+°°）,求b的值；（2）研究函数y=x2+-^（WOO）在定义域内的单调性，并说明理由；X（3）

9、对函数y=x+-和牛（常数a>o）作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）拼求函数尸（兀）=^^^：+（立+劝"（77是正整数）在区间［丄,2］上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）.2【名师点睛】：解决结论性探索性问题的策略是：冇时运用定义或定理直接导出结论，冇时可通过具体到抽彖,特殊到一般的归纳获得结论，再给出严格证明,有吋通过类比，联想潴测出结论,再加以证明.（三）规律探索问题规律探索问题是根据己知条件或所捉供的若干个特例，通过观察、类比、归纳、揭示和发现题冃所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.【例3】已知数列

10、山卫2，・・・卫30，其中…，。10是首项为1,公差为1的等差数列；切0,5，・・・卫20是公差为d的等差数列；。20卫21，…卫30是公差为沪的等差数列（dHO）.（1）若^20=40,求d；（2）试写出So关于〃的关系式，并求。30的取值范围；（3）续写已知数列，使得心0,5,…，為0是公差为，的等差数列,……，依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行硏究，你能得到什么样的结论？【名师点睛】:这是一道数列探索型问题.从衔接项入手，逐步展开解题思维，由特殊到一般，探