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1、www.czsx.com.cn第二十四讲探索性问题【趣题引路】一个圆形街心花园,有三个出口A、B、C,如图1,每两个出口之间有一条60m长的道路,组成正三角形ABC.在中心点还有一个亭子,为使亭子与原有的道路相通,需要修三条小路OD,OE,OF,使另一出口D、E、F分别落在△ABC的三边上,且这三条小路把△ABC分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草.(1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将设计方案分别画出来,并附简单说明;(2)要使三条小路把△ABC分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?请把方案画出来,并求此时三条小路的总长;(3)请你探
2、索出一种一般方法,使得出口D不论在什么位置都能准确地找到另外两个出口E、F的位置,请写明方法;(4)你在(3)中探究出一般方法适用于正五边形吗?这种方法可以推广到正n边形吗?（1）(2)(3)(4)解析(1)方案1D、E、F分别与A、B、C重合,连结OD、OE,OF,得三条小路OD、OE、OE.如图2.方案2OD、OE、OF分别垂直于D,E,F得OD,OE,OF,如图3.(5)(2)如图4,三条小路OD、OE、OF分别与AC、AB、BC平行,得到三个全等的等腰梯形;作OM⊥BC于M,连结BO,则OE==20,又OE=OF=OD.∴OE+OF+OD
3、=3·OE=60.即3条小路OD,OE,OF总长为60.(3)方案1在BC、CA上分别截取BE=CF=AD,连结OD、OE、OF即得三条小路如图5.方案2连OD,将OD逆时针旋转120°交BC于E,再逆时针旋转120°交AC于F即得3条小路,如图5.(4)在正五边形A1A2A3A4A5中,设M1为A1A2上任意一点,在各边上分别截取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1,连结OM1、OM2、OM3、OM4、OM5即可得5条小路,从而可进一步推广到正n边形.-12-www.czsx.com.cn【知识延伸】探索性问题有别于通常的问题(常规
4、问题).如果把一个题目的系统分成已知条件,解题依据,解题方法和结论四个要素,那么探索性问题往往只有其中的两个要素,以解题过程来看,较少现成的法则和套路,较多分析、探索与创造.解决此类问题要求我们能综合运用观察、分析、分类、类比、转译、化归、特殊化、一般化、反证法以及数形结合甚至猜想等数学思想和方法.探索性问题归纳有四种题型:(1)探索题设下的图形或数量之间的关系;(2)探索解决问题的方法;(3)探索图形具备某性质或关系的条件或结论;(4)探索改变题设条件后结论是否变化.例1如图,⊙O为等腰梯形ABCD的内切圆,M、N、P分别为⊙O与AB、CD、B
5、C的切点.试尽可能多地找出其中图形的形状和大小之间所存在的各种关系.解析(1)角的相等:∠A=∠ABC,∠BCD=∠D;∠MBO=∠PBO;∠MOB=∠POB;∠MBO=∠COP等.(2)角的互补:∠A+∠D=180°;∠ABC+∠BCD=180°.(3)角的互余:∠MBO+∠MOB=90°;∠BOP+∠COP=90°等.(4)线段的垂直:OM⊥AB;ON⊥CD:OP⊥BC;OB⊥OC.(5)共线点:N、O、M三点在一条直线上.(6)线段的相等:BM=PB=MA;CN=CP=ND;OP=OM=ON;BC=BM+CN;AB+CD=AD+BC=2AD
6、.(7)三角形全等:△MBO≌△PBO;△NOC≌△POC.(8)三角形相似:△OCB∽△MOB(或△PBO)∽△NOC(或△PCO).(9)比例线段:通过相似三角形对应边成比例,可找到多组成比例线段关系.(10)作为比例中项的线段:OP是BP与CP的比例中项,也是MB与NC的比例中项;MN是AB与CD的比例中项;OB是MB与BC的比例中项;OC是NC与BC的比例中项.点评解此问题时最好要有条理性,先从某个角度进行分析,待不能再挖掘出新的对等或成比例的关系后,应及时地换一个角度再思考.例2如图,EB是⊙O的直径,且EB=6.在BE的延长线上,取点
7、P,使EP=EB.A是PE上一点,过A作⊙O的切线AD,切点为D.过D作DF⊥AB于点F,过B作AD的垂线BH,交AD的延长线于点H.连结ED和FH.(1)若AE=2,求AD的长;(2)当点A在EP上移动(点A不与点E重合)时,①是否总有?试证明你的结论.②设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.-12-www.czsx.com.cn解析(1)∵AD切⊙O于D,AE=2,EB=6,∴AD2=AE·AB=2×(2+6)=16.∴AD=4;(2)①无论点A在EP上怎么移动(点A不与点E重合),总有.证明连结BD,交FH于
8、G.∵AH是⊙O的切线,D为切点,∴∠3=∠4.又∵BH⊥AH,BE为直径,∴∠BDE=90°,∴∠1=90°-∠3=90°-∠4=∠2
