第二十二讲 不定方程(含解答)-

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1、www.czsx.com.cn第二十二讲不定方程【趣题引路】有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、姓赵、姓尹。他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？解析设丈夫买了x件商品,妻子买了y件商品,则得不定方程x2-y2=63.即(x+y)(x-y)=63=63×1=21×3=9×7.可得方程组解得根据条件“孙先生所买的商品比赵女士多23件”,可确定x1为孙先

2、生买的商品数,y2为赵女士买的商品件数;再根据条件“金先生所买的商品比李女士多11件”,可确定x2为金先生所买的商品件数,y3为李女士买的商品件数.由此可判断出孙先生和尹女士为夫妻,金先生和赵女士是夫妻,陈先生和李女士是夫妻.【知识延伸】不定方程是整数论中最古老的一个分支,古希腊数学家刀番图就研究过这样的方程.不定方程(组)指未知数的个数多于方程的个数的方程(组).这类方程解法灵活,内涵丰富,综合性强.解决这类问题,需要根据方程的具体特点进行分析,还要运用特殊的方法和技巧.例1已知a是质数,b是奇数,且a2+b=2003,求a+b的值.解析∵a2+b=2003,∴a2

3、=2003-b,又∵b是奇数,则2003-b是偶数,∴a2是偶数.故a是偶数,而a又是质数,∴a=2,∴b=1999.∴a+b=2+1999=2001.点评此题应用了奇偶数分析法解决问题.例2已知a,b,c满足方程组,试求方程bx2+cx-a=0的根.解析∵a+b=8,ab-c2+8=48,∴ab=c2-8c+48.-7-www.czsx.com.cn故a,b是方程y2-8y+c2-8+48=0的两根.即(y-4)2-(c-4)2=0.∴y=4,c=4,即a=b=4,c=4.方程即为4x2+4x-4=0,即x2+x-1=0.∴x1,2=.在初中阶段涉及的不定方程问题,

4、通常有两种基本的解题思路:(1)运用整数的若干基本性质;(2)运用初中的基本知识与基本方法,如因式分解,配方,根的判别式与根与系数之间的关系,不等关系等,一般具体操作时,常综合运用两个基本方法解决有关不定方程的问题.点评此题采用构造一元二次方程的方法求得解.【好题妙解】佳题新题品味例1已知(x+)(y+)=2002,求x2-3xy-4y2-6x-6y+58的值.解析∵(x+)(y+)=2002,∴x+==-(y-)y+==-(x-).①+②,得x+y=-(x+y).∴x+y=0.∴x2-3xy-4y2-6x-6y+58=(x-4y)(x+y)-6(x+y)+58=58

5、.点评把x+y看成一个整体代入原式求解,是整体求解的运用.例2已知a、b、c、d均为正整数，且a5=b4,c3=d2,a-c=65,求b-d的值。-7-www.czsx.com.cn解析设a5=b4=m20,c3=d2=n6(m,n为正整数),则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3.∵a-c=65,∴m4-n2=65.即(m2+n)(m2-n)=65×1=13×5,∴m2+n=65,m2-n=1,或m2+n=13,m2-n=5.解之,得(无整数解,舍去).又∵m,n是正整数,∴∴b-d=m5-n3=243-64=179.点评此题用增元法设a5=b4=m20,后可运用

6、因式分解法求解.中考真题欣赏例(2000年温州市中考题)一项工程交给甲、乙两队施工.如果甲队独做,需12天完成;如果乙队独做,需16天完成;如果由甲、乙两队共同完成这项工程,用x、y分别表示甲、乙两队工作的天数.(1)用x的代数式表示y;(2)若要求这项工程在10天内完成,两队工作天数都是整数,则完成这项工程最少要多少天?解析(1)y=16-x;(2)∵当x=3时y=12,∴y=12>10不符合题意.当x=6时y=8<10.符合要求,所以至少要8天.点评要使y是正整数,则4x能被3整除,用枚举法使问题获解.竞赛样题展示例1(2003年全国初中数学联赛)满足等式x+y-

7、-+=2003的正整数对的个数是()A.1B.2C.3D.4解析将题中等式移项分解因式得,(++)(-)=0又∵x,y是正整数,-7-www.czsx.com.cn∴++>0.∴-=0.故xy=2003,∴x=1,y=2003或x=2003,y=1.故选B点评因式分解法是解不定方程的一个基本方法,需掌握.例2(2003年希望杯竞赛题)若x,y为正整数,且x2+y2+4y-96=0,则xy=____.解析∵x2+y2+4y-96=0,配方,得x2+(y+2)2=102.又∵x,y是正整数,∴x,y+2也是正整数,由勾股定理的性质知,斜边为10的正整数解