【数论第四讲】不定方程

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1、实用标准文案不定方程一、定义：把未知数的个数多于方程的个数的方程（组）称为不定方程．这里的“不定”指的是方程的解不定．二、基本思路与方法：1．因式分解法，对方程的一边进行因式分解，另一边作质因数分解，对比两边，转化为若干个方程构成的方程组，进而求解。2．配方法，将方程的一边变为平方和的形式，另一边为常数，再用不等式予以处理。3．不等式估计，利用不等式工具确定不定方程中某元的范围，再利用整数性“夹逼”出该元的取值。4．运用整除性把“大数”化为“小数”，使方程的解明朗化。5．同余方法，如果不定方程有整数解，则对任意，其整数解满足。利用这

2、一条件，同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。6．构造法，在不易得出方程的全部解时，通过构造法可以提供其部分解，从而证明该方程有解或者有无穷多个解，适合于处理存在性问题。7．无穷递降法，适合证明不定方程没有正整数解。三、例题选讲：例1.求所有满足方程的正整数解。解：法1（因式分解）：方程即，可得-121-11-1111121111121-121-11-1解得。法2（配方法）：方程即，即例2．将表示成k个连续正整数之和，求项数k的最大值。解：设这k个连续正整数中最小的数为a，则，即，作因式分解可得。显然，为了让k尽量大，则需a尽

3、量小，故需与的取值尽量接近，因此令，，可得，。所以，项数k的最大值为486。例3.解方程：x2+[x]–2=0，其中[x]表示不超过x的最大整数．解令，则方程变为（不定方程）．文档实用标准文案整理得．因为，所以，解得所以[x]=或或1．代入方程x2+[x]–2=0中得或或1．注：运用不等式确定方程中某元的范围，进而求解。例4．找出所有整数组（x，y），使得．解（不等式估计法）把方程变为．由原方程可知，于是得．由于，从而有，解得．据y的整数性可得y的可能取值为，，和0．当时，，得；当时，，得；当时，，此时无整数解；当时，x=1．综上，

4、原方程的所有整数解为（–3，–2），（–2，1），（0，1）．例5．已知正整数满足：，，都是完全平方数，求的值。解：设，，，且。则，即，可得解得，即得或27或7，这里只有能使为完全平方数。所以。三、求方程x2＋x＝y4＋y3＋y2＋y的整数解．【解】【不等式估计法】原方程可变形为4x2+4x+1=4y4+4y3+4y2+4y+1．∴(2x+1)2=(2y2+y)2+3y2+4y+1=(2y2+y)2+2×(2y2+y)+1+(－y2+2y)=(2y2+y+1)2+(－y2+2y)（1）当，即当y<－1或y>2时，(2y2+y)2＜(

5、2x+1)2＜(2y2+y+1)2而2y2+y与2y2+y+1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解．（2）当y=－1时，x2+x=0，所以x=0或－1．（3）当y=0时，x2+x=0，所以x=0或－1．（4）当y=1时，x2+x=4，此时x无整数解．文档实用标准文案（5）当y=2时，x2+x=30，所以x=－6或5．综上所述：，，，，，．例6．证明：不定方程没有整数解.【证明】【同余方法】若存在整数x，y使得成立，对方程两边模11，可知；若y能被11整除，则，不合题设；若y不能被11整除，则，可得11能整除或，可知，于是有，这仍与

6、题设不合。综上，不定方程没有整数解。例7．设n是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得n是某个整数的四次方．分析：显然“最小的正整数b”体现出了b的范围，应紧紧抓住这个条件．【解（运用整除性递降大数）】据题意可建立等式（关于n，b的不定方程）．由于n是某个整数的四次方，故设，x是整数。那么，（转化为关于x，b的不定方程）．可知7能整除，由于7为质数，所以7能整除，故设，m为整数，则有（进一步转化为关于m，b的不定方程，方程更加简单）．因为最小的正整数b的充要条件是取最小，即最小，也就是时．故得，解得．综上，最小的正整数

7、b为18．例8．求方程的质数解．分析：若x为偶数，则z必为偶数；若x是奇数，y为奇数，则z仍为偶数；若x是奇数，y为偶数，则z为奇数。因此，无论怎样，x，y，z中至少有一个为偶数，而偶数为质数的只有2．解若x为偶数，则x=2，此时可得z=2，从而得y=59；若x为奇数，y为奇数，则z为偶数，即得z=2，此时方程变为．由于122=2×61，所以得x=61，从而得，不合，舍；若x为奇数，y为偶数，则y=2，此时方程变为。方程可进一步变为，即．（注：因式分解；数的分解思想）由于z是质数，不能继续分解，故需，即得x=11，z=23．文档实用

8、标准文案综上，原方程的质数解为（2，59，2）或（11，2，23）．例9．关于本原勾股数的两条性质：若正整数x，y，z满足，且，则称x，y，z为一组本原勾股数，且满足：（1）x，y是一奇一偶两个正整数，z为奇数；（2）若x为奇数，y为