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1、第十讲不定方程学习提示:有这样一个方程：2x+y=20,x、y都是自然数，你知道x和y分别等于多少吗？通过计算,我们就会只扫,当x=0时，y=20；当x=l时,y=18；当x=2时，y=16；•••当x=10时，y=0,共有11组解。如果x、y可以是小数，就会出现无数组解。在2x+y=20这一个方程中，有x和y两个未知数，像这样，方程的个数少于未知数的个数的方程(或方程组)称为不定方程(或不定方程组)。它的解是不定的，如果没有给定不定方程的某种限制条件，那么它就有无限多个解。本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定的范南内，它可能有解，也可能无解、如果有解，也只能是有限个
2、解。但是，限制的条件,有时很隐蔽，需要我们去认真思考。典型题解例1、(1)工程队要铺78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子,5米的用了6根，3米长的管子用多少根？这道题用算术方法解很简单，不过我们想用列方程的方法来解答这道题。解：设3米长的管子用了X根3x4-5x6=783x=78-30x=48*3x=16在题目当中，设一个未知数的，根据题目当中的等量关系列一个方程，解方程后得到一个解。(2)工程队要铺78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，3米长的管子比5米长的管子多用了10根，3米长和5米长的管子各用了多少根？用列方程的方法解答。解：设5米长的管子x根，则
3、3米长的管子为(x+10)根。5x+(x+10)x3二785x+3x+30二788x+30二788x=48x=63米长的管子为：x+10=6+10=16(根)本例的条件和问题与例1稍有不同，要求有两个量，而这两个量之间有联系，在设未知数吋，设其中的一个为x,另一个根据它们之间的联系用代数式表示，但解是唯一的。(3)工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，问两种管子各用各用多少根？分析：问3米和5米长的管子各用多少根，设3米长的管子用x根，那么5米长的管子用的根数呢，如果用共78米这个条件表示出5米长的管子的根数，列方程时则没有其他等量关系了，只能设其为y根，列出一
4、个含有两个未知数的方程，即不定方程。解：设3米长的管子用x根，5米长的管子用y根。3x+5y=783x=78-5yx=(78-5y)子3x=U3根据题意，x—定是一个整数，且不等于0.x是整数，78-5y的值一定是3的倍数，78已经是3的倍数了，则5y的值也一定是3的倍数，那么y二3、6、9、12、15,当y二18吋，5y的值大于78,符合题意。所以y可能是3、6、912、15这五种可能，相应的x也有五种可能，从而得出原方程有下面五组解。x=2ly=3x=6y=12x=1y=5在本例中，只列一个方程，却包含两个未知数，结果也不唯一，这样的方程就是不定方程。在解不定方程是，可将方程变为用代数
5、式表示出其中一个未知数。再根据题意及数字特点讨论可能的解C例2：在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共45只脚，求蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：设蟋蟀有x只，蜘蛛y只6x+8y=466x=46-8yX=46—8y~6-X、y均为整数，46；8y是一个整数,则46_8y的值是6的倍数。因为46除以6余4,所以8y除以6也应该余4,那么8乘以几除以6余4呢？可以是2、5.如果再大些则46小于8y,不符合题意。解得：答;蟋蟀有5只，蜘蛛有2只，或者蟋蟀有1只，蜘蛛有5只。例3、将601个球分别装在大小两种包装盒里，大盒每盒装5个，小盒每盒装3个。求使用的包装盒的个数有多少种不同的安排方法？解：设大盒用x
6、和，小盒用y个，根据题意列方程5x+3y=6015x=601-3yX=601-3y~5-x、y均为整数，6°l[3y是一个整数,则6()1_3y的值是5的倍数。601除以5余1,3y除以5也应该余1,则y=2、7、12、・・・197,y的值是一个首项是2,公差是5的等差数列，都有一个与之相对应的x值。共有40种不同的安排方法。说明：本题种讨论y的取值，实质是从同余的角度来理解，若用同余的知识来讨论会更快捷一些，有兴趣的同学可以试一试。例4、将426个乒乓球装在三种盒子里。大盒每盒装25个，屮盒每盒装20个。小盒每盒装16个。现共装了24盒，求用了多少个大盒？题目中大中小三种盒子，根据共装24
7、盒，可设x个大盒，y个中盒，小盒个数用代数式24-x-y来表示。在根据共有426个乒乓球这个等量关系列方程。解：设用x个大盒，y个中盒，那么用小盒24-x-y个。列方程有25x+20y+16(24-x-y)=426化简整理，得9x+4y二426由方程9x+4y二42可知，x小于5.42是偶数，4y的值也是偶数，则9x的值也应该是奥数,那么y也一定是偶数。[x=2解得
