第十二讲：不定方程的整数解

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1、上海市中学生数学业余学校讲义　　　第十二讲不定方程的整数解　　　【例题】　　　例1、求方程5x－9y=18整数解的通解.　　　　　　　　　　　　　例2、求方程非负整数解.　　　　　　　　　　　　　例3、求方程的所有正整数解.（练习：求方程的整数解）　　　　　　　　　　　　　　　　　例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与相邻且排在之前的一个数.　　　　　　　　　　　　例5、求方程的整数解.　　　　　　　　　　　　　例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等奖每人奖5

2、本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.　　　　　　　　　　　　　例7、求不定方程正整数解的组数.　　　　　　　　　　　　　　　【练习】　　　1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）　①4x＋2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,　　　④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.　　2、求方程5x+6y=100的正整数解.　　　　　　　　3、甲种书每

3、本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？　　　　　　4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？　　（答案：最多答对12题）　　　　5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”.　（答案：或或或）　　　　　　　　　　　　上海市中学生数学业余学校讲义　　第十二讲不定方程的整数解（教师用）　　　我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。例如方程，或方程组　，它

4、们的解都是不确定的。象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程组。　　　如何求解整系数二元一次方程的整数解？　一、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程中，　若的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）

5、c则方程有整数解，显然互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,　5x-2y=7,　9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。　一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为

6、它们的绝对值。　　二、二元一次方程整数解的求法：　若方程有整数解，一般都有无数多个，常引入整数t来表示它的通解（即所有的解）。t叫做参变数。整数解的通解的表达方式不是唯一的。　方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解　解：x==(1),　设是整数），则y=1-5k(2),　　　　把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2　　　∴原方程所有的整数解是（k是整数）　方法二，公式法：　设①有整数解，其中互质，且方程有一组整数解，则通解是其中为整数　证明：因为是方程①的整数解，当然满足②，因此，这表明，也是

7、方程①的解。　　　反过来，若是方程①的解，则有③，③-②得　　④，由于，所以，即，其中为整数，代入④得，因此都可以表示为，的形式，所以表示方程①的一切整数解。　　用公式法求解二元一次方程组的关键是找到一组特殊解。　　　例1、求方程5x－9y=18整数解的通解　　解：特解，所以通解为（为整数）　例2、求方程非负整数解　　解：因为，所以方程两边均除以2得，特解　，所以通解为（为整数）　由（为整数），得　当时，；当时，　　　　例3、求方程的所有正整数解。　　　分析：这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种

8、情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解。　　　解：用方程①的最小系数7除方程中的各项，并移项得　　　，因为为整数，故也是整数，于是有。再用5除以此式的两边得　　　　此时，由观察知是方程的解。从而。于是方程①有一组解，所以它的一切解为　　　由于为正整数，所以，因此原方程的正整数解为　　　或　　　　（课内练习：求方程的整数解）　　（答案：，，为整数）　　例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与相邻且排在之前的一个数。　　解：设是与符合条件的数，且，其中为正整数，则，于是，先考虑中满

9、足且使最大的正整数解。为此需先找到它的一个特解，于是不定方程的通解为，为整数。这时在条件下，　最大为，此时。另一方面，可知，　若，则　　　　所以在所给条件下，比小且最接近它的数为。　　　　例5、求方程的整数解。　　　解：原方程化简为，（1）　把方程①分为两个方程　对于方程（2），由观察得　　　于是方程（2）的解为（I）　对于方程（3），不难看出