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《第12讲不定方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十二讲不定方程先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。他对小王说，我左、右两个手心里各写了一个整数，它们的和是10,你能猜出左、右手心各写的是什么整数吗？小王满有信心地说：能行。于是小王连续猜了三次。第一次猜：左手心写的是9,右手心写的是1,老师说不对；笫二次猜：左手心写的是5,右手心写的是5,老师说不対；第三次猜：左手心写的是7,右手心写的是3,老师说还是不对。其实我们己经知道，这个问题的答案有许多个，不要说猜三次，就是再猜儿次，可能还是没有恰好猜出来。如果设左、右手心写的整数分别为兀、y,那么可以
2、列出方程由于未知数的个数比方程的个数多，于是得到的解不是唯一的，即使再加一些附加条件,对能述是不容易得到合理的答案。一般情况,我们把求这类方程整数解的问题叫做不定方程。我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长度为17米和8米的两种同样粗细的水管，问两种水管各用多少根(不截断)正好铺足158米长的地段。由于总长度是158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩下的长度是否恰好是8的整数倍。这个办法是将17米长的水管的各
3、种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种方法叫做“穷举法”。当可取的情况很多时，这种方法当然不能令人满意，如果情况种类不太多，这种方法还是可行的。如设17米长的水悖用了兀根，8米长的水管用了y根，可以列出方程17x+8y=158,(1)本题要求这个方程的整数解。我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为：8y=158-17x,(2)8y=152+6-16x—x(3)由于152和16兀都是8的倍数，因此6-兀也应该是8的倍数，x只能取6才冇可能，用6代入(2)中，可以解出尸7,所以17米长的水
4、管用了6根，8米长的水管用了7根。1CQ_17兀也可以山方程(2)两端同除以8得)，=,(4)152+6—16x—x(5)(6)y=19-2x+6-x~~8~6—x由于2均为整数，g也是整数，故可知丁也是整数，显然只有当尸6时,6—x为整数，此时一=0,尸19-2X6=7。8这种解法叫做整数离析法或整数分离法。一.二元一次不定方程象上面讲到的17x+8y=158这种方程中，有两个未知数，每个未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。一般地，形如ax+byr=c的方程中，其中°、b、c为整数，一几久b
5、均不为零，称为耒知数x、y的二元一次不定方程，人们关心的常是求二元一次不定方程的整数解或正整数解。对于上述方程通常要考虑下面几个问题：1.°、久c是什么样的整数时，方程有整数解或者无整数解；2.如果有整数解，将有多少整数解？是否有解的统一表示办法？3.如何求出所有的解。我们曾用整数离析法求出了17兀+8尸158的一组正整数解尸6,尸7。是否还有其他的正整数解呢？以上三个问题全部解决，这个问题才算解答完毕。下面我们将通过例题把一些主要结论介绍给大家。如求二元一次不定方程3x+9y=23的整数解。容易看到
6、等号左端当x、y为整数吋，能被3整除，但右边的23不能被3整除，故左右两端不可能相等，方程没有整数解。一般地，当(a,/?)c时｛(a,Z?)表示的是a与b的最大公约数｝,方程ax+by=c无整数解。理由是当兀、y为整数时，左式是(6/,b)的倍数，但右端却不是(tz,b)的倍数，所有原方程无整数解。再看二元--次不定方程6x+9)=21,由于(6,9)=3,而3
7、21,在这种情况下，方程有无整数解呢？在方程两端同除以(6,9)=3,得2x+3尸7,容易看出厂2,尸1就是这个方程的一个整数解。由于知
8、识的限制，现在我们所学的整数只冇零和自然数。在此范围内，方程可能只冇一个或儿个解，其至于可能没有解，但如果数的范围加入了负数，那么只要(a,b)c,方程就一定有解。例如21x+18y=3,这个方程中,(a,b)=(2,18)=3,方程可以变形为7x+6y=l,这个方程在零和自然数的范围内无整数解，在中学学习负数的概念后，还可以找到方程的整数解。在本讲小我们只讨论用小学知识可以求解的题目，但给出的公式却具有一-般性。在ax+by=c中，如果(a,b)=c,那么方程两端同除以(a,b)后得住+仞严。，
9、如尸兀。，尸为是方程g+切=6的一纽解，那么方程的所有解为°1,其屮『可以取任意整•[y=y()_“数(包括负整数)。这就是说，如果能求出一组解x=xo，)=yo，就可以直接写出方程ax+biy=C[的所有解。如求方程4x+3)=17的所有整数解。由于(4,3)=1,1
10、17,故这个方程肯定有整数解。容易看到x=2,)=3是方程的一个解，那么4x+3y=17的所有解是彳，其中ty=3_4r可以取任意整数。当U0时的解即为尸2,尸3,但当/为正整数时，兀
