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1、让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!第30讲简单的不定方程算术给予我们一个用之不尽的、充满有趣真理的宝库，这些真理不是孤立的，而是以相互最密切的关系并立着，而且随着科学的每一成功的进展，我们不断地发展这些真理之间的新的、完全以外的接触点。——高斯知识方法扫描当未知数的个数多于方程的个数时，这个方程或方程组就叫做不定方程或不定方程组。一般来说，不定方程（组）有无数解，但是在一个具体的问题中，它的符合题目条件的解（例如非负整数解）往往是有限的。利用初中数学的知识，我们可以求出某些不定方程的解来。对于二次不定方程，常通过因
2、式分解和质因数分解转化为方程组来求解。对于某些不定方程，特别是某些分式不定方程，可以从分析未知数的取值范围入手，利用不等式的性质来确定未知数的值。经典例题解析例1．（第十届“缙云杯”初中数学邀请赛初赛试题）现将若干个零件放入至10个盒子内,要求每个盒子装的零件个数相同,如果每盒装12个,结果剩下一个零件未装；如果再增加3个盒子,所有的零件恰好分装在各个盒子内.问原有多少个盒子？多少个零件？解设原有x个盒子,y个零件,增加3个盒子后,每个盒子装a个零件,根据题意,得①②消去y,得：(a－12)x＝1－3a.显然a≠12,这是因为若a＝12,则
3、①、②矛盾.所以x＝，即x＝由于a,x都是正整数,因此a只能为11,7,5,此时x分别为32,4,2.但x≥10,则只取a＝11,x＝32.于是可得y＝12x＋1＝385.答：原有32个盒子,385个零件.例2．（2007年山东省初中数学竞赛试题）某校一间宿舍里有若干名学生，其中一人任舍长，元旦时，该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠给舍长一张贺卡，用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？解设这间宿舍里共有x名学生，宿舍楼共有y名管理员（x，y是正整数）依题意有x(x-1)+xy+y=
4、51181走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!,因为y是整数，所以（x+1）是49的约数，它可等于±1，±7，±49：x+1-49-7-11749x-50-8-20648y513-45513-45因为x,y是正整数，仅x=6,y=3符合题意。所以这间宿舍里住有6名学生。例3．（第18届“迎春杯”数学竞赛试题）在3和5之间插入6、30、20这三个正整数,得到3、6、30、20、5这样一串数.其中每相邻两个数的和可以整除它们的积(例如,3+6＝9,9可以整数3
5、×6；再如,6+30＝36,36可以整除6×30).请你在4与3这两个数之间的三个括号中各填一个正整数,使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积.4,(),(),(),3解：设4,(x),(y),(z),3.依题意,我们有4x=n(4+x)(其中n为正整数).解出(其中4－n是正整数),经检验,当n=2时，x=4；当n=3时,x=12.类似地,我们有3z=m(3+z)(其中m是正整数),解出(其中3-m是正整数),经检验,仅当m=2时,z=6于是可以得出4,4,(y),6,3或4,12,(y),6,3.同理可以得出三组解：(4,4,12,6
6、,3)或(4,12,12,6,3)或(4,12,6,6,3).例4．（1997年湖北荆州市初中数学竞赛试题）用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为x厘米规格的地砖,恰需n块；若选用边长为y厘米规格的地砖,则要比前一种刚好多有124块,已知x,y,n都是整数,且x,y互质,试问这块地有多少平方米？解设这块地的面积为S,则S＝nx2＝(n＋124)y2即n(x2－y2)＝124y2因为x,y,z,n都是自然数,所以x＞y,且124y2被x2－y2整除.又x,y互质,则x2,y2互质,从而x2－y2,y2互质.故124被(x2－y2
7、)整除.由于124＝22×31,x2－y2＝(x－y)(x＋y),181走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!注意到xI＋y与x－y具有相同的奇偶性,且x＋y＞x－y＞0.因此因为x,y互质,所以x＝16,y＝15.于是所以S＝答：这块地有23.04m2例5．（1990年第1届“希望杯”全国初中数学邀请赛试题）求方程的正整数解.解由已知的方程可知x、y、z都为大于1的整数,不妨设1＜x≤y≤z,则≥≥。∵≤，∴≤。解之≤,可确定x＝2、3。当x＝2时,可确定
8、y＝4、5、6；当x＝3时,可确定y＝3、4.综上,又可确定z＝12、6、6、4.因此,当1＜x≤y≤z时,解(x、y、z)共有(2、4、12),（2、6、6）,（3、3、6）,
