高考圆锥曲线解答题(探索性问题).doc

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1、圆锥曲线探索性问题包含两类题型：一是无明确结论，探索结论问题(即只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论.)二是给定明确结论，探索结论是否存在问题．(解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．)存在性问题，其一般解法是先假设结论存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的结论，则假设存在的结论成立；否则，不成立．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问

2、题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．例3．(2012北京理19)（本小题共14分）已知曲线．（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，，三点共线．3．解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：．（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得：．由韦达定理得：①，，②设，，方程为：，则，，，-7-/7欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将①

3、②代入易知等式成立，则三点共线得证．【变式训练31】(2012天津理19)设椭圆的左、右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若

4、AP

5、=

6、OA

7、，证明直线OP的斜率k满足．解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)证明：(方法一)依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(

8、x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.②由

9、AP

10、＝

11、OA

12、，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以

13、k

14、>.(方法二)依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，即(1＋k2)x＜a2.③由

15、AP

16、＝

17、OA

18、，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k

19、2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，所以

20、k

21、＞.-7-/7【变式训练32】(2012安徽理20)　如图，点分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；（1）如果点的坐标是；求此时椭圆的方程；（2）证明：直线与椭圆只有一个交点．解：（I）点代入得：①又②③由①②③得：，即椭圆的方程为．（II）设；则得：．过点与椭圆相切的直线斜率．得：直线与椭圆只有一个交点．解：(1)(方法一)由条件知，P，故直线PF2的斜率为＝－.-7-/7因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝x－，故Q.由

22、题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为＋＝1.(方法二)设直线x＝与x轴交于点M，由条件知，P.因为△PF1F2∽△F2MQ，所以＝.即＝，解得＝2a.所以a＝2，c＝1．故椭圆方程为＋＝1．(2)证明：直线PQ的方程为即y＝x＋a.将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0.解得所以直线与椭圆只有一个交点．例4．(2012福建理19)如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．-7-/7（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存

23、在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：解法一：(1)因为

24、AB

25、＋

26、AF2

27、＋

28、BF2

29、＝8，即

30、AF1

31、＋

32、F1B

33、＋

34、AF2

35、＋

36、BF2

37、＝8，又

38、AF1

39、＋

40、AF2

41、＝

42、BF1

43、＋

44、BF2

45、＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝，即＝，所以c＝1，所以b＝＝.故椭圆E的方程是＋＝1.(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－