数学【专题六】探索性问题

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1、专题六数学【专题六】探索性问题【考情分析】高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.【知识交汇】随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，高考命题将更加关注“探索性问题”．　　由给定的题设条件探求相应的结论，或由给定的题断追溯应具备的条件，或变更题设、题断的某个部分使命题也相应变化等等，这一类问题称之为探索性问题．由于这类题型

2、没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明．其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型．近几年高考中探索性问题分量加重，在选择题、填空题、解答题中都已出现。探索型问题具有较强的综合性，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．高考常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为题设开放型、结论开放型、题设和结论均开

3、放型以及解题方法的开放型几类问题．【思想方法】一、条件追溯型【例1】（2009年高考浙江卷理科第17题）如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是_______.【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又9专题六数学，因此有，则有，因此的取值范围是w.w.w.k

4、.s.5.u.c.o.。m【例2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，设的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（例2）ABCDExyO（2）设点在圆上，使的面积等于12的点有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）直线方程为，圆心，半径.由题意得，解得.（2）∵，∴当面积为时，点到直线的距离为，又圆心E到直线CD距离为(定值)，要使的面积等于12的点有且只有三个，只须圆E半径，解得，此时，⊙E的标准方程为．评注：这类问题

5、的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”9专题六数学的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。二、结论探索型【例3】（2009年高考江苏卷第14题）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=.学科网[解析]考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。有连续四项在集合，四项

6、成等比数列，公比为，=-9【例4】（2009年高考湖北卷理科第15题）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。【解析】（1）若为偶数，则为偶,故①当仍为偶数时，故②当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=5评注：这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论

7、。三、存在判断型【例5】（2009年高考北京卷文科第20题）设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.9专题六数学（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得，解，得.∴成立的所有n中的最小整数为7，即.（Ⅱ）由题意，得，

8、对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，.∴.（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有，即对任意的正整数m都成立.当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾！当，即时，得，解得.9专题六数学∴存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.评注：这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部