中考数学专题讲座 探索性问题

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1、中考数学专题讲座探索性问题概述：探索性题目一般作为压轴题或次压轴题出现，题目较难，难在结论不肯定，要通过探索证明或计算，得出结论，并给予肯定或否定回答：这种题目的结论有多样性，需要解题的周密考虑，解这种题目有两种方法：一种是假定结论成立，去证明它的可能性或存在性；另一种是从条件出发直接证明或计算回答存在或不存在．典型例题精析例1．如图1，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那

2、么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3表示，使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？并证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2．（1）S1=S

3、2+S3；（2）S1=S2+S3，证明如下：显然：S1=c2，S2=a2，S3=b2，∴S2+S3=（a2+b2）=c2=S1．（也可用三角形相似证明）（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似，∴，，∴=1，∴S1=S2+S3．（4）分别以直角三角形ABC的三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．例2．如图1，⊙O1和⊙O2外切于P，AB是⊙O1和⊙O2的公切线，A、B是切点，直线AP、BP分别交⊙O2，⊙O1于F、E．（1）求证：AE、BF分别为⊙O1、⊙O2的直径

4、；（2）求证：AB2=AE·BF；（3）如图2，当图1中的切点P变为两圆一个交点时，结论AB2=AE·BF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．分析：（1）即证∠APE=∠BPF=90°，过P作二圆公切线，可证明．（2）证明△ABE∽△BFA可得．（3）同样可证△ABE∽△BFA．∴∠E=∠BAF，∠F=∠ABE．中考样题训练1．如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作饼速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单

5、位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．（3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．（4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．2．如图，⊙

6、O2与⊙O1的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在⊙O1上，直线AD与⊙O2交于点E，与直线BC交于点F．（1）如图1，当点A在上时，求证：①△FDC∽△FCE；②AB∥EC；（2）如图2，当点A在上时，是否仍有AB∥EC？请证明你的结论．3．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连结两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．（1）若PC=PD，求PB的长；（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC+PD=4？如果存在，问这样的P点有几个；并求出PB的值；如果不存在，说明理由；

7、（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD，请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．4．三月三，放风筝，图中是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH．请你用所学知识给予证明．考前热身训练1．填空题（1）观察下列等式，你会发现什么规律？3×5=15，而15=42-1，5×7=35，而35=62-1，…11×13=143，而143=122-1，…将你

8、猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来____________________．（2）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，