实数与向量的乘积

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时间:2018-12-27

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1、三、实数与向量的乘积1.实数与向量的乘积:设为任意实数,为任意的非零向量。与的乘积是一个向量,记作______模:的模等于的_____倍,即_____方向:(1)当时,规定与的方向______(2)当时,规定______(3)当时,规定与的方向______由于规定了的模与的方向,这样就能确定了。4.根据实数与向量的乘积的定义,可知与是____________的向量5.两个非零向量与平行的充要条件是:存在非零实数,使______6.实数与向量的乘积满足以下运算律:设,则(1)(2)(3)7.已知非零向量的单位向量______,方向与

2、向量______例2下列结论中⑴是两向量,则的关系必为三者中的一个.⑵两个相等的向量,当它们的起点不同时,终点也一定不同.⑶平行向量就是共线向量,共线向量就是平行向量.⑷温度有零上与零下,因此温度是向量.其中正确的序号为__________实数与向量的乘积教学目标:1.理解实数与向量乘积的意义,知道λ的大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量,平行的充要条件是=λ,解决简单的几何问题。4.掌握两个向量,平行的充要条件是λ+μ=教学重点:1.理解实数与向量乘积的意义,知道λ的

3、大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量,平行的充要条件是=λ,解决简单的几何问题。教学难点:对向量平行的充要条件的理解和运用教学过程:一、复习:向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1.引入新课:已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论:1°3与方向相同且

4、3

5、=3

6、

7、2°-3与方向相反且

8、-3

9、=3

10、

11、2.从而提出课题:实数与向量的积实数λ与向量的积,记作:λ定义:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ1

12、°

13、λ

14、=

15、λ

16、

17、

18、2°λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=3.特别地,当时,我们规定,都有当时,规定;当时,规定与向量的大小相等且方向相反,即4.运算定律:结合律:λ(μ)=(λμ)①第一分配律:(λ+μ)=λ+μ②第二分配律:λ(+)=λ+λ③结合律证明:如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则①式成立如果λ¹0,μ¹0,¹有:

19、λ(μ)

20、=

21、λ

22、

23、μ

24、=

25、λ

26、

27、μ

28、

29、

30、

31、(λμ)

32、=

33、λμ

34、

35、

36、=

37、λ

38、

39、μ

40、

41、

42、∴

43、λ(μ)

44、=

45、(λμ)

46、如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与同向;如果λ、μ异号,则①

47、式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明:如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则②式显然成立如果λ¹0,μ¹0,¹当λ、μ同号时,则λ和μ同向,∴

48、(λ+μ)

49、=

50、λ+μ

51、

52、

53、=(

54、λ

55、+

56、μ

57、)

58、

59、

60、λ+μ

61、=

62、λ

63、+

64、μ

65、=

66、λ

67、

68、

69、+

70、μ

71、

72、

73、=(

74、λ

75、+

76、μ

77、)

78、

79、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即:

80、(λ+μ)

81、=

82、λ+μ

83、当λ、μ异号,当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证:

84、(λ+μ)

85、=

86、λ+μ

87、∴②式成立第二分配律证明:如果=,=中至少有一个成立

88、,或λ=0,λ=1则③式显然成立OABB1A1当¹,¹且λ¹0,λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O,作λλ则+λ+λ由作法知:∥有ÐOAB=ÐOA1B1

89、

90、=λ

91、

92、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1OB1因此,O,B,B1在同一直线上,

93、

94、=

95、λ

96、与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明:λ(+)=λ+λ∴③式成立例1、计算(1)(-3)×4(2)例2、已知向量与为任意向量,化简:三、非零向量平行的充要条件(向量共线定理)1.若有向量(¹)、,实数λ,使=λ则由实数与向量积的定义

97、知:与为平行向量若与平行(¹)且

98、

99、:

100、

101、=μ,则当与同向时=μ当与反向时=-μ从而得:非零向量,平行的充要条件是:有且只有一个非零实数λ使=λ定理:非零向量,平行的充要条件是:有且只有一个非零实数λ使=λ例3、已知,,试判断与是否共线。解:∵EACBD∴与共线。例4、在中,已知分别是的中点,用向量的方法证明:BACOA1B1C1例5、已知,求证:相似实数与向量的乘积作业一、选择题1、下面给出四个命题:①对于实数m和向量、恒有:;②对于实数m,n和向量,恒有:;③若(m∈R),则有:;④若(m、n∈R,),则m=n.其中正确命题的

102、个数是()A.1B.2C.3D.42、设和为两个不平行的向量,则=2-与=+λ(λ∈R)平行的充要条件是()A.λ=0B.λ=-1C.λ=-2D.λ=-3、下列各式或命题中:①②③④若两个非零向量、满足(k≠0),则、同向.正确的个数为()A.0B

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