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1、实用标准文档实数与向量的乘积1.实数与向量的乘积:设为任意实数,为任意的非零向量。与的乘积是一个向量,记作______模:的模等于的_____倍,即_____方向:(1)当时,规定与的方向______(2)当时,规定______(3)当时,规定与的方向______由于规定了的模与的方向,这样就能确定了。4.根据实数与向量的乘积的定义,可知与是____________的向量5.两个非零向量与平行的充要条件是:存在非零实数,使______6.实数与向量的乘积满足以下运算律:设,则(1)(2)(3)7.已知非零向量的单位向量______,方向与向量______例2下列结论中⑴是两
2、向量,则的关系必为三者中的一个.⑵两个相等的向量,当它们的起点不同时,终点也一定不同.⑶平行向量就是共线向量,共线向量就是平行向量.⑷温度有零上与零下,因此温度是向量.其中正确的序号为__________实数与向量的乘积教学目标:1.理解实数与向量乘积的意义,知道λ的大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量,平行的充要条件是=λ,解决简单的几何问题。4.掌握两个向量,平行的充要条件是λ+μ=文案大全实用标准文档教学重点:1.理解实数与向量乘积的意义,知道λ的大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结
3、合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量,平行的充要条件是=λ,解决简单的几何问题。教学难点:对向量平行的充要条件的理解和运用教学过程:一、复习:向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1.引入新课:已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论:1°3与方向相同且
4、3
5、=3
6、
7、2°-3与方向相反且
8、-3
9、=3
10、
11、2.从而提出课题:实数与向量的积实数λ与向量的积,记作:λ定义:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ1°
12、λ
13、=
14、λ
15、
16、
17、2°λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=3.特别地,当时,我们规
18、定,都有当时,规定;当时,规定与向量的大小相等且方向相反,即4.运算定律:结合律:λ(μ)=(λμ)①第一分配律:(λ+μ)=λ+μ②第二分配律:λ(+)=λ+λ③结合律证明:如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则①式成立文案大全实用标准文档如果λ¹0,μ¹0,¹有:
19、λ(μ)
20、=
21、λ
22、
23、μ
24、=
25、λ
26、
27、μ
28、
29、
30、
31、(λμ)
32、=
33、λμ
34、
35、
36、=
37、λ
38、
39、μ
40、
41、
42、∴
43、λ(μ)
44、=
45、(λμ)
46、如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与同向;如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明:如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则②式显然成立如果λ¹0,
47、μ¹0,¹当λ、μ同号时,则λ和μ同向,∴
48、(λ+μ)
49、=
50、λ+μ
51、
52、
53、=(
54、λ
55、+
56、μ
57、)
58、
59、
60、λ+μ
61、=
62、λ
63、+
64、μ
65、=
66、λ
67、
68、
69、+
70、μ
71、
72、
73、=(
74、λ
75、+
76、μ
77、)
78、
79、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即:
80、(λ+μ)
81、=
82、λ+μ
83、当λ、μ异号,当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证:
84、(λ+μ)
85、=
86、λ+μ
87、∴②式成立第二分配律证明:如果=,=中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然成立OABB1A1当¹,¹且λ¹0,λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O,作λλ则+λ+λ由作法知:∥有ÐOAB=ÐOA1B1
88、
89、=
90、λ
91、
92、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1OB1因此,O,B,B1在同一直线上,
93、
94、=
95、λ
96、与λ方向也相同文案大全实用标准文档AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明:λ(+)=λ+λ∴③式成立例1、计算(1)(-3)×4(2)例2、已知向量与为任意向量,化简:三、非零向量平行的充要条件(向量共线定理)1.若有向量(¹)、,实数λ,使=λ则由实数与向量积的定义知:与为平行向量若与平行(¹)且
97、
98、:
99、
100、=μ,则当与同向时=μ当与反向时=-μ从而得:非零向量,平行的充要条件是:有且只有一个非零实数λ使=λ定理:非零向量,平行的充要条件是:有且只有一个非零实
101、数λ使=λ例3、已知,,试判断与是否共线。解:∵EACBD∴与共线。文案大全实用标准文档例4、在中,已知分别是的中点,用向量的方法证明:BACOA1B1C1例5、已知,求证:相似实数与向量的乘积作业一、选择题1、下面给出四个命题:①对于实数m和向量、恒有:;②对于实数m,n和向量,恒有:;③若(m∈R),则有:;④若(m、n∈R,),则m=n.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4文案大全实用标准文档2、设和为两个不平行的向量,则=2-与=+λ(λ∈R)平行的充要条件是()A.λ=0B.λ=-1C.λ=-
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