实数与向量的乘积

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1、三、实数与向量的乘积1.实数与向量的乘积：设为任意实数，为任意的非零向量。与的乘积是一个向量，记作______模：的模等于的_____倍，即_____方向：（1）当时，规定与的方向______（2）当时，规定______（3）当时，规定与的方向______由于规定了的模与的方向，这样就能确定了。4.根据实数与向量的乘积的定义，可知与是____________的向量5.两个非零向量与平行的充要条件是：存在非零实数，使______6.实数与向量的乘积满足以下运算律：设，则（1）（2）（3）7.已知非零向量的单位向量______，方向与

2、向量______例2下列结论中⑴是两向量，则的关系必为三者中的一个．⑵两个相等的向量，当它们的起点不同时，终点也一定不同．⑶平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量．⑷温度有零上与零下，因此温度是向量．其中正确的序号为__________实数与向量的乘积教学目标：1.理解实数与向量乘积的意义，知道λ的大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量，平行的充要条件是=λ，解决简单的几何问题。4.掌握两个向量，平行的充要条件是λ+μ=教学重点：1.理解实数与向量乘积的意义，知道λ的

3、大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量，平行的充要条件是=λ，解决简单的几何问题。教学难点：对向量平行的充要条件的理解和运用教学过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论：1°3与方向相同且

4、3

5、=3

6、

7、2°-3与方向相反且

8、-3

9、=3

10、

11、2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ1

12、°

13、λ

14、=

15、λ

16、

17、

18、2°λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=3．特别地，当时，我们规定，都有当时，规定；当时，规定与向量的大小相等且方向相反，即4．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(+)=λ+λ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ¹0，μ¹0，¹有：

19、λ(μ)

20、=

21、λ

22、

23、μ

24、=

25、λ

26、

27、μ

28、

29、

30、

31、(λμ)

32、=

33、λμ

34、

35、

36、=

37、λ

38、

39、μ

40、

41、

42、∴

43、λ(μ)

44、=

45、(λμ)

46、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①

47、式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ¹0，μ¹0，¹当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴

48、(λ+μ)

49、=

50、λ+μ

51、

52、

53、=(

54、λ

55、+

56、μ

57、)

58、

59、

60、λ+μ

61、=

62、λ

63、+

64、μ

65、=

66、λ

67、

68、

69、+

70、μ

71、

72、

73、=(

74、λ

75、+

76、μ

77、)

78、

79、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即：

80、(λ+μ)

81、=

82、λ+μ

83、当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证：

84、(λ+μ)

85、=

86、λ+μ

87、∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立

88、，或λ=0，λ=1则③式显然成立OABB1A1当¹，¹且λ¹0，λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，作λλ则+λ+λ由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA1B1

89、

90、=λ

91、

92、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，

93、

94、=

95、λ

96、与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明：λ(+)=λ+λ∴③式成立例1、计算（1）（-3）×4（2）例2、已知向量与为任意向量，化简：三、非零向量平行的充要条件（向量共线定理）1．若有向量(¹)、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义

97、知：与为平行向量若与平行(¹)且

98、

99、：

100、

101、=μ，则当与同向时=μ当与反向时=-μ从而得：非零向量，平行的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使=λ定理：非零向量，平行的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使=λ例3、已知，，试判断与是否共线。解:∵EACBD∴与共线。例4、在中，已知分别是的中点，用向量的方法证明：BACOA1B1C1例5、已知,求证：相似实数与向量的乘积作业一、选择题1、下面给出四个命题：①对于实数m和向量、恒有：；②对于实数m,n和向量,恒有：；③若(m∈R)，则有：；④若(m、n∈R，)，则m=n．其中正确命题的

102、个数是（）A．1B．2C．3D．42、设和为两个不平行的向量，则=2－与=+λ（λ∈R）平行的充要条件是（）A．λ=0B．λ=－1C．λ=－2D．λ=－3、下列各式或命题中：①②③④若两个非零向量、满足(k≠0)，则、同向．正确的个数为（）A．0B