《积分学习的总结》word版

《《积分学习的总结》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、学数学最好的方法就是做数学积分整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.一、不定积分不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)二、定积分1.定义式:2.定义域:一维区间,例如3.性质:见课本P229-P232特殊:若,则,即区间长度.4.积分技巧:奇偶对称性.注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.5.积

2、分方法:与不定积分的方法相同.6.几何应用:定积分的几何意义:表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.三、二重积分1.定义式:2.定义域:二维平面区域3.性质:见下册课本P77特殊:若,则,即为的面积.4.坐标系:①直角坐标系:型区域,型区域②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;6.几何应用:二重积分的几何意义:若,则表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;其他应用:求曲面的面积四、三重积分1

3、.定义式2.定义域:三维空间区域;3.性质:与二重积分类似;特殊:若,则,其中表示的体积.4.坐标系:①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面积易求时采用)②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.6.应用:表示密度,则为物体质量.(不考虑几何意义)五、第一类曲线积分1.定义式:(二维)(三维)2.定义域:平面曲线弧空间曲线弧3.性质:见课本P128特殊:则

4、,表示曲线弧长.4.计算公式(二维为例):-3–祝同学们学习愉快,取得好成绩^_^学数学最好的方法就是做数学类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;6.几何应用:见上3.六、第二类曲线积分1.定义式:(二维)(三维)2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)3.性质:见课本P1354.计算公式:注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.不能使用奇偶对称性.6.应用:力做功.七、第一类曲面积分1.定义

5、式:2.定义域:空间曲面注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似特殊:则,表示曲线面积.4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式.注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.6.几何应用:见上3.八、第二类曲面积分1.定义式2.定义域:有向空间曲面3.性质:见课本P1624.计算公式:,类似可得另两个.5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,

6、使用时要注意曲面方向以及是否封闭.6.应用:求流量,磁通量等.奇偶对称性:定积分:若积分区间关于原点对称,例如若关于为奇函数,则若关于为偶函数,则二重积分:若积分区域关于轴对称,记为的部分若关于为奇函数,则若关于为偶函数,则同样可以得到积分区域关于轴对称时,关于为奇、偶函数的公式.三重积分:若积分区域关于面对称,记为的部分若关于为奇函数,则若关于为偶函数,则-3–祝同学们学习愉快,取得好成绩^_^学数学最好的方法就是做数学同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况.例题:P123#1(1)(2)P124#2(4)第一类曲线积分:若积分曲线关于轴对称,记为

7、的部分若关于为奇函数:若关于为偶函数:同样可以得到曲线关于轴对称的情况.第一类曲面积分:若积分曲面关于面对称,记为的部分,若关于为奇函数:若关于为偶函数:同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况.例题:课本P158#6(3),P184#2变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如等,此时例题1:其中为球面被平面所截的曲线.例题2:其中为球面循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且中依次替换,即后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有例

8、题:课本168页#3(4)质心:适用重积分,第一类积分.请同学们思考如何区别各种积分?(定义域