《积分的发展》word版

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1、积分发展的一页沧桑蔡志强§一、问题的起源§二、函数观念的改变以及d'Alembert、Euler与Bernoulli家族间的论战§Fourier谱写的「数学的诗篇」§四、Cauchy分析的严密化§五、Riemann的就职论文§一段小结  如果Newton和Leibniz想到过连续函数不一定有导数──而这却是一般情形──那么微分学就不会被创造出来。──HenriPoincaré一、问题的起源如果我看得更远些，那是因为我站在巨人们的肩膀上。──IsaacNewton自从Newton与Leibniz 发明微积分后，就为人类开启了一条通往科学数学化(mathematizatio

2、nofscience)的大道。但是，由于微积分的基础太薄弱了，因此，引来许多数学界及非数学界的人的非难。在本文中，我们想要回溯一些积分的发展过程，倒不是从伟大的阿基米得开始，而是想着重于Lebesgue积分理论的发展，因为它的发展史其实就是数学分析严密化的最好例证。从这里，我们将可以看到许多的数学家如何从一些我们（至少对我而言）经常学习实分析过程中所遭遇的困难出发，然后得到完整的理论。不过，如果要对这段发展有贡献的数学家列出一张表来，恐怕十张A4纸都不够，同时，这项事实反映出每一种完整的理论都是许多人一点一滴累积起来的，并非一个人就可以完成的。由于积分理论的发展历程是如

3、此之大与复杂：因此，本文必须有所限定，我们打算就三部份来论述，第一部份主要是从十七世纪至十九世纪函数、连续函数、以及定积分等概念的转变谈起；第二部份是叙述集合论与容积(content)观念的发展；最后一部份则是谈论Borel测度与Lebesgue积分的形成。首先，我们将从十八世纪末的一场关于波动方程的论战开始。积分发展的一页沧桑（第2页）蔡志强  二、函数观念的改变以及d'Alembert、Euler与Bernoulli家族间的论战   1.十七、八世纪函数的观念我想每个人都会认同：「函数」与「点集」是积分最重要的两个角色，所以，从函数观念的发展来谈积分发展是相当恰当的

4、，而函数观念的历史发展，就恰如我们从中学、大学一直到研究所所经历的函数观念改变一样。如果要说谁最早引进函数的概念，那似乎是很困难的问题;但是，可以确定的是，函数一词最早是由微积分的发明者之一GottfriedWilhelmLeibniz（1646～1716）于1673年引进，用以表示任何与曲线有关的几何量（比如：曲线上的点坐标、斜率、曲率半径等等）。但是，这个定义仅表示一些几何量间的关系：却没有给出函数的解析意义。Bernoulli家族的JohannBernoulli（1667～1748  ）首先从解析的角度定义函数，他于1718年将函数定义为变量x与常数所构成的任何表

5、示式、并将它记做x或ξ，稍后，他又用表示x的函数。第一位真正将函数放在分析学中心地位的数学家：应该是Euler（LeonardEuler,1707～1783）。Euler于1748年所出版的《无穷小分析引论》(IntroductioninAnalysininfinitorm)中的第一章就谈论函数，他将函数定义为「变量的函数是变量，常量和数用某种方式联合在一起的解析表达式。只含一个变量z，余者为常量，这样的解析表达式叫做z的函数，……，函数分为代数函数和超越函数，前者只含一般代数运算，后者含有超越运算」。在这本大作中，Euler也讨论了隐函数与显函数的差别。总结的说来，函

6、数在那时期的长相，就只是对变量作加、减、乘、除、开方等代数运算，以及指数、对数以及三角函数等等超越运算所得到的表达式，（比如说：x3+2x2-7x,）。当然这些函数在我们看来是相当好的函数（至少是可微，甚至解析）。而且都是我们中学时所经常接触到的。值得注意的是这些函数在其定义域上，都有着相同的解析表示式，而这正是十八世纪的数学家对函数所持的看法。 2.d'Alembert的弦在一个荒凉的岛上，诗人少有能不空虚，而数学家则仍然能以其发现而自豪。──JeanleRondd'Alembert函数概念因为Euler、d'Alembert（JeanleRondd'Alembert

7、,1717～1783）以及DanielBernoulli（1700～1782）一场历经1760年代至1770年代、关于弦振动问题的论战，而有了进一步的发展。论战的发起人是d'Alembert。他的身世很可怜，刚出生时，就被遗弃在SanitJean-le-Rond教堂附近，恰巧被一位士兵发现，因此，就以教堂的名字为名。在d'Alembert之前：虽然已经有人探讨了弦振动（拉紧的弦）的问题，但是，只有d'Alembert在1747年所发表的论文「张紧的弦振动时形成的曲线的研究」(Recherchessurlacourbequeformeune