《牛顿的微积分》word版

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1、第二节牛顿的微积分一《流数简论》　　《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．　　牛顿把曲线f(x，y)＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)＝0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：　　　　而它们的比就是y对x的导数　布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．　　牛顿考虑的第一个问题是：给定x和

2、y的关系f(x，y)＝0，求　的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度(流数)之间的关系．若用子表示，则为　　　　它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则．实际上，这个式子　　　牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f(x，y)＝0中的x和y，于

3、是有　　　　按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得　　　　除以o后便得到(1)式．作为一个实例，可把y＝xn写成f(x，y)＝y－xn的形式，由(1)式推出　　　的代数式)．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：　　　　其中A表示曲线y=f(x)下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：　　设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11．13)，并把它看作垂　　平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f(x)．因此，牛顿认为面

4、积y随时间的变化率是　　　　这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．　　牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝　　　在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它变量z＝1＋xn，其流数比为　　　　这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为　　　　类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．　　《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商

5、的微分法则．设y=u(x)·v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到　　至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．　　由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．二、《运用无穷多项方程的分析学》(下简称《分析学》)　　在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为z＝axm，　　其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及

6、x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示(图11．14)，其中oy是面积的瞬，于是有z+oy＝a(x＋o)m．　　根据二项式定理　　　　考虑到z＝axm，并用o去除等式两边，得　　　　略去仍然含o的项，得xy=maxm-1．　　这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率线为y=maxm-1；反之，若曲线是y＝maxm-1，则它下面的面积是z=axm．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)(axm

7、)′＝maxm-1；　　在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：　　∫[f1(x)+f2(x)＋…+fn(x)]dx=∫f1(x)dx　　＋∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx．　　他对如下的积分性质也有明确认识：∫af(x)dx＝a∫f(x)dx．　　他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如　　

8、　然后对这个无穷级数逐项积分，得　　　　他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．　　　　y＝1-x2＋x4－x6＋x8－…(1)　　　　y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋…(2)　　他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．　　同《流数简论》相比，《分析学》