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1、第三讲利用导数求函数的极值1基本概念函数极值的定义：设函数f(x)在点附近有定义，如果对附近的所有点x，都有f(x)f()，我们就说f()是函数f(x)的一个极小值，称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．2基本性质当函数f(x)在点处可导且（1）如果在附近的左侧有，右侧有，那么f()为极大值；（2）如果在附近的左侧有，右侧有，那么f()是极小值．3基本方法求极值的步骤：第1步 求导数；第2步
2、 求方程的所有实数根；第3步 考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则f()是极大值；如果由负变正，则f()是极小值．第4步 给出结论4易错警示（1）可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，，使，但不是极值点。（2）函数的极值点的导数不一定存在，更不一定是导数等于零。（3）极值是一个局部概念，极大值不一定比极小值大．【例题精析】考点1：极值的计算例1 求函数＝x3＋x2－x在区间（－2,1）上的极大值与极小值．8变式1：求函数的极值。例2设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相
3、切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．变式2：求函数的极值点．8考点2：与参数有关的问题例3．已知关于x的函数f(x)＝＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值-，试求b、c的值。变式3、若函数在处取极值（其中），则，b=.例4已知函数。（I）求函数的定义域，并判断的单调性；（II）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。8c.o.m点评：本考点主要考查极值与导数之间的关系，考查分类整合
4、思想、推理和运算能力。值得注意的是，可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．变式4：已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.8利用导数求函数的极值【同步练习】班级__________姓名_____________1.下列说法正确的是（） A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值 B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值 C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的
5、极值 D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=02.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（） ①y=x3②y=x2+1③y=
6、x
7、④y=2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③3.y=ln2x+2lnx+2的极小值为（） A.e－1 B.0 C.－1 D.14.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于（） A.6 B.0 C.5 D.15、已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分
8、别为( )A.，0B．0，C．－，0D．0，－6、设函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f′(x)＝0有( )A．分别位于区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内三个根B．四个实根xi＝i(i＝1,2,3,4)C．分别位于区间(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)内四个根D．分别位于区间(0,1)，(1,2)，(2,3)内三个根7.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.8.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.9.函数y=－x3+48x－3的极大值为
9、___________；极小值为___________.10.函数f(x)=x－的极大值是___________，极小值是___________.11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.12．讨论函数的单调性并求极值．813、已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．14、设x＝1与x＝2是函数
10、f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．8【变式和同步练习答案】1.D，提示（1）可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．（2）函数的极值点的导数不一
