高等数学复习题(1)

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1、第一章极限与连续一、极限的定义二、极限的计算（一）求极限主要根据：1、结合附录1的函数图象观察并记住以下常见的极限：（主要用来判断极限类型）（时，只要该函数有意义，类似）2、利用连续函数性质：（趋近有定义的点时）初等函数在其定义域上都连续。例：3、利用两个重要极限（1）两个重要极限的基本形式：第一个重要极限：第二个重要极限：（2）应用：（1）____（2），则_____（3），则_____（4）_____（5）_______4、利用无穷大量，无穷小量的性质及其关系无穷小量的性质：（1）（2）（3）推论无穷大量的性质：关系：有此可知以下极限类型的结果：0代表无穷小量，C代表

2、非0常数。1、=02、=03、=∞4、=05、=∞第8页共8页6、=∞7、8、9、但以下形式还不能确定（未定型），需要转化成其他形式求解：1、型2、型3、型4、型（部分可知）5、型6、型7、型5、其他需要注意的地方：（1）性质（3）的应用：如（1）0（2）0（2）利用无穷小量的定义判断无穷小量如：1、以下变量哪些是无穷小量？（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（7）（）（9）（）（3）对于f（x）、g（x）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P9总结的“规律”。如=以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！6、未定型变化方法：（1）型（

3、2）型第8页共8页（3）型（4）型（部分可知）（5）型（6）型（7）型（6、7不要求）如1、2、3、4、5、6、7、三、连续：函数在连续。如：设函数当时，在点处连续第二章导数和微分一、导数定义：如（1）若，则（2）若，则______；二、导数的几何意义如曲线在点（4，2）处的切线方程是三、根据导数定义验证函数可导性的问题：如：在处是否可导第8页共8页四、求给定函数的导数或微分：求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P332、求导的四则运算法则：教材P28—303、复合函数求导法则（最重要的求导依据）如1．设求2．设求3．若，求.4、若，求.4、隐函数求导法（包括对数函

4、数求导法）如（1）若，求.（2）若，求.5、求高阶导数（最高为二阶）如若，求；6、求微分：会用即可如：（1）设求d（2）设求d（3）若，求d（4）设，求dy.五、利用微分作近似计算：连续函数当自变量在处的变化量很小时，=如：利用微分求的近似值第三章导数的应用一、函数的单调性（增减性）及极值问题：1、会判断函数的连续性（判断依据：p53定理3.3）2、会求单调区间3、会求函数的极值（判断方法：p56，p57定理3.5；定理3.6）如（1）求函数的单调区间与极值（2）求函数的单调区间与极值二、函数凹向、拐点第8页共8页如求函数的凹向、拐点三、曲线的渐近线1、水平渐近线定义（p

5、63）：如曲线的水平渐近线是2、铅直渐近线定义（p64）：如曲线的铅直渐近线是四、函数的最大值与最小值如(1)欲做底面为正方形，容积为108m3的长方体开口容器,如何设计用料最省?(2)欲用围墙围成面积为216的矩形养鱼场，并在正中间用围墙将其隔成两块。问长和宽选取多少时，才能使所用材料最省，即周长最短。（请画出草图）。(3)学校欲做一个底面为正方形，容积为32立方米的长方体开口蓄水箱，如何设计，所用材料最省？(4)有一门洞，上半部为一个半圆，下半部为一个矩形，周围长，要使得面积最大，门宽应为多少？。(5)、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌长的墙壁，问应围成

6、怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？第四章不定积分一、原函数：则称F（x）为f（x）的一个原函数。如1、函数是的一个原函数2、函数是的一个原函数二、不定积分：⑴概念：f（x）的所有的原函数称f（x）的不定积分。如：若函数是函数的一个原函数，则注意以下几个基本事实：如：1、2、三、不定积分计算（恒等变形>>套积分公式）第8页共8页1、运算法则及基本公式（往往仅改变被积函数）如求2、第一换元积分：（1）有的仅需要改变积分变量就可以套公式。如1、2、设，则（2）有的需要把被积函数和积分变量一起变才可以套公式。如3、分部积分：主要针对三种题型：如：4、换元积分：主要考查不需要借

7、助三角函数的情形。如第五章定积分一、定义如1、比较：二、定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式1．2．换元积分法，注意“换元必换限”，即变量x换成变量t后，其上、下限也从要变3．4、=第8页共8页=三、其他性质：1、2、3、四、广义积分1.2、五、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）：1、求由曲线与所围成的平面图形的面积。2、求抛物线与所围成的平面图形的面积。3、求由曲线及所围成的平面图形的面积。第六章常微分方程一、基本概念：1、微分方程定义：2、微分方程的阶定义：如：微分方程的阶数为。3、微分方程的解的定义：通解：特解：二、解题