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1、2011高数工1重修班复习题(积分,DE)[注:答案并不一定全对,请各位小心谨慎]期末考试上半学期内容主要涉及1极限和连续性1导数1导数应用1积分部分1积分基础1基本1函数与其不定积分的关系1定积分为常数2定积分的对称性(被积函数的奇偶性)2变上限积分2第一类换元积分法3第一类.三角函数积分3第二类换元积分法3有理函数积分3第二类.根号替换3分部积分3混合方法3广义积分的求法和收敛性4平面图形面积和旋转体的体积4其它4一阶微分方程的通解和特解5一.可分离变量5二.齐次方程5三.一阶线性微分方程5可降阶的高阶微分方程6一.:与最高阶项无关的部分只含6二.:除显含的项外,只含最高阶项和次高阶
2、项6三.:不显含7其它:利用特征方程求二阶微分方程(略)77期末考试上半学期内容主要涉及极限和连续性基本极限,重要极限等价无穷小量,,,在和处的极限情况分段函数的极限和连续性渐近线(判断和时和的极限情况)导数导数定义基本求导(导数表,四则运算)参数方程确定的函数的二阶导数隐函数的导数幂指函数的导数导数应用罗尔定理的条件L’Hospital法则切线方程极值问题和最值问题(应用题)积分部分积分基础基本[C]（）A．B．C．D．不确定[D]设则（）A．B．1C．D．[D]=（）A．B．C．D．[D]函数的原函数是（）A．B．C．D．是连续函数，则A=0函数与其不定积分的关系7若,则设,则定积分
3、为常数[D]（）A．B．C．D．已知，求[]定积分的对称性(被积函数的奇偶性)[B]=（）A．B．0C．1D．2变上限积分[B]设是上的连续函数，上任一点，则是（）A．的原函数，B．的一个原函数，且可导C．的所有原函数D．一个常数[A]设则（）A．B．C．D．设，则设求[]设求[]7求[]第一类换元积分法(拆)(被积函数先化为)第一类.三角函数积分第二类换元积分法[令,有;答案为0][令,注意讨论该函数在某区间上的单调性,可导性,以及导数非0]有理函数积分[先化为1加真分式,再用第一类换元积分法]第二类.根号替换(先分母有理化)分部积分设常数，且，则=e混合方法7(首先,分子利用二倍角公
4、式,分母利用二倍角公式将次,再用第一类换元积分法化为关于的有理函数积分,再用第一类换元积分法)(先令,再用分部积分)若，求(先求导,得到,再求得,再积分)证明=在区间内有唯一的实根。(利用单调性和零点存在定理)设且在上连续，求证在内仅有一根。广义积分的求法和收敛性设=1，则常数[D]下列广义积分中收敛的是（）A．B．C．D．[B]下列广义积分中发散的是（）A．B．C．D．平面图形面积和旋转体的体积1.设平面图形有曲线，及曲线在点的切线和轴围成，求该平面图形的面积，该图形绕周旋一周的立体体积。2.求曲线和所围的平面图形面积及该图形绕轴旋转的旋转体体积。3.求曲线与曲线和轴交点的切线及轴所围
5、成的封闭图形的面积A,以及该图形饶轴旋转一周所成旋转体体积其它7一阶微分方程的通解和特解一.可分离变量方法:分离变量,分别积分;注意:讨论新方程的额外条件,绝对值符号,常数1.[09三8]求微分方程满足初始条件的特解。解：2.[10三9]求方程的特解。解：分离变量，得，（1分）两端积分，得，（2分）由，，（2分）故所求特解为（1分）3.[11二13]微分方程满足初始条件的解是二.齐次方程方法:令,算出,代入方程,得到可分离变量的新方程[11二13]微分方程满足初始条件的解是三.一阶线性微分方程方法步骤:1.求对应的齐次问题(令的部分为0)的解2.将解中的常数设为,作为原方程的解3.得到两
6、个等式(1)第一式:对解直接求导(2)第二式:将解代入原方程4.由两式相等,得到的微分方程:,积分,解出5.将代入设出的解中即可1.[09四1]已知某曲线过点(1，1)，且点处的切线在y轴上的截距等于切点的横坐标，求该曲线方程。解：71.[10三8]求方程的通解。解：，2.[11三20]求微分方程满足初始条件的特解解：3.求，的特解。可降阶的高阶微分方程一.:与最高阶项无关的部分只含1.方法:逐次积分;注意:常数2.通解的统一形式:3.[10二6]方程的通解为4.[11二14]微分方程的通解为5.微分方程的通解二.:除显含的项外,只含最高阶项和次高阶项1.方法步骤:a)令次高阶项,算出,
7、代入方程,化为和的一阶方程b)解出7a)由,逐次积分,得到2.时,方程为一.:不显含1.方法步骤:(注意:这种方程需换自变量为)a)令次高阶项,算出,代入方程,化为和的方程b)解出c)由,分离变量,得到其它:利用特征方程求二阶微分方程(略)微分方程的通解7
