《数列专题》word版

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1、第二专题数列一．高考命题的特点及预测数列是函数概念的继续和延伸，数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，其前n项和S也可视为数列S的通项通项及求和是数列中最基本也是最nn重要的问题之一，数列与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一,是进一步学习高等数学的基础,是高中数学的重要内容，所以在高考中占有重要的地位.在近几年的高考中,对数列的考查多以解答题的形式出现,数列与函数,数列与不等式等的综合知识,在知识的交汇点处设计题目,成为高考对能力和素质考查的重要方面.在高考试题中,一般情况下都是一

2、个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论，函数和方程等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，因此应引起我们足够的重

3、视，在平时要加强对能力的培养.二．题型展示⒈等差、等比数列的判断和计算⑴等差、等比数列的判断或证明判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：an(1)定义法：对于n2的任意自然数,验证aa()为同一常数;nn1an1(2)通项公式法：①若aan1dankd，则a为等差数列；n1knn1nk②若aaqaq，则a为等比数列。n1kn(3)中项公式法：验证中项公式成立。例1.(05Ⅱ卷)已知an是各项为不同的正数的等差数列，lga1,lga2,lga4成等差数列．又1b,n1,2,3,(Ⅰ)证明b为等比数列；(Ⅱ)如果数列b

4、前3项的和等于nnnan27，求数列a的首项a和公差d．n1242(I)证明：∵lga,lga,lga成等差数列∴2lgalgalga，即aaa12421421422又设等差数列a的公差为d，则(ad)a(a3d)这样dad，从而n1111d(da)01nn111d0,da10,a2na1(21)d2d,bnnand2211∴b是首项为b,公比为的等比数列。n12d21117(Ⅱ)解：bbb(1),d3,ad312312d2424点评：注意运用等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质.例

5、2.（08天津卷理）在数列a中，a1,a2,且n12*a(1q)aqa(n2,q0.)（Ⅰ）设baa（nN），证明b是n1nn1nn1nn等比数列；（Ⅱ）求数列a的通项公式；（Ⅲ）若a是a与a的等差中项，求q的值，n369*并证明：对任意的nN，a是a与a的等差中项．nn3n6（Ⅰ）证明：由题设a(1q)aqa（n2），得aaq(aa)，即n1nn1n1nnn1bqb，n2．nn1又baa1，q0，所以{b}是首项为1，公比为q的等比数列．121n2（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）aa1，aaq，……aa

6、q，（n2）．将以2132nn1上各式相加，n11q1,q1,n2得ana11qq（n2）．所以当n2时，an1qn,q1.上式对n1显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q1时，显然a不是a与a的等差中项，故q1．369522836由aaaa可得qqqq，由q0得q11q，①3693323333整理得(q)q20，解得q2或q1（舍去）．于是q2．n2n1n1qqq3另一方面，aa(q1)，nn31q1qn1n5n1qqq6aa(1q)．n6n1q1q**由

7、①可得aaaa，nN．所以对任意的nN，a是a与a的等差nn3n6nnn3n6中项．【变式训练1】（06江苏卷）设数列an、bn、{cn}满足：bnanan2，cnan2an13an2n1,2,3,，证明a为等差数列的充分必要条件是c为等差数列且nnbb(n1,2,3,)nn1证明：必要性，设是a公差为d的等差数列，则n1bb(aa)(aa)(aa)(aa)dd0n