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1、专题四：数列一、选择题1．（2013年高考上海卷（理））在数列中,,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】A.2．（2013年大纲版数学（理））已知数列满足,则的前10项和等于(A)(B)(C)(D)【答案】C3．（2013年高考新课标1（理））设的三边长分别为,的面积为,,若,,则()A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列【答案】B4．（2013年安徽数学（理）试题）函数的图像如图所示,在区
2、间上可找到个不同的数使得则的取值范围是(A)(B)(C)(D)【答案】B5．（2013年福建数学（理）试题）已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是()A.数列为等差数列,公差为B.数列为等比数列,公比为C.数列为等比数列,公比为D.数列为等比数列,公比为【答案】C
6．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））等比数列的前项和为,已知,,则(A)(B)(C)(D)【答案】C147．（2013年高考新课标1（理））设等差数列的前项和为,则()A.3B.4C.5D.6【答案】C8．（2013年辽宁数学（理）试题）下面是关于公差的等差数列的四个命题:其中的真命题为(A)(B)(C)(D)【答案】D
3、9．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A二、填空题10．（2013年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.【答案】解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得
.所以,
解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前项和或11．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.【答案】12．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角
4、形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:三角形数正方形数五边形数六边形数
可以推测的表达式,由此计算___________.【答案】100013．（2013年江苏卷（数学））在正项等比数列中,,,则满足14的最大正整数的值为_____________.【答案】1214．（2013年高考湖南卷（理））设为数列的前n项和,则(1)_____;(2)___________.【答案】;15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）当时,有如下表达式:两边同时积分得:从而得到如下等式:请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:【答案】16．（2013年重庆数学（理）
5、试题）已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则【答案】17．（2013年上海市春季高考数学试卷(）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.【答案】18．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）在等差数列中,已知,则_____.【答案】19．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:照此规律,第n个等式可为_______.【答案】20。．（2013年高考新课标1（理））若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.【答案】=.1421．（2013年安徽数学（理）试题）如图,互不-相同的点和分别在角O的两条
6、边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.【答案】22．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.【答案】2,23．（2013年辽宁数学（理）试题）已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.【答案】63三、解答题24．（2013年安徽数学（理）试题）设函数,证明:(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足;(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足.【答案】解:(Ⅰ)是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数..
综
7、上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕)
(Ⅱ)由题知
14上式相减:
.
法二:
25．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.14(1)若,求及;(2)求证:对任意,;(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为,,故,
(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,
即只需证明
若,显然有成立;
若,
