《数列与极限专题》word版

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1、数列与极限1.设数列是公差为的等差数列，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）将表示成的函数。2.设等比数列的公比为，前项和为，且>.（1）求公比的取值范围；（2）设，记的前项和为，试比较的大小.3.已知公比为的无穷等比数列的各项和为9，无穷等比数列的各项和为.（1）求数列的首项和公比；（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前10项之和.4.设，定义使为整数的叫做企盼数，试求区间内的所有企盼数的和.5.已知，点在函数的图象上，其中.（1）求证数列是等比数列；（2）设，求及.6.设数列是等差数列，=1，=++…+，数列是等比数列，=++…，若=

2、，，且=9.（1）求数列，的通项公式.（2）当正整数n取何值时，＞？7.等比数列中，＞1，公比＞0，设，且，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和及数列的通项；（3）试比较与的大小.8.已知正项数列，其前项和为满足，且成等比数列，求数列的通项公式.9.已知函数，若数列：成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求；（3）若，令，试比较与的大小。10.设数列的首项，其前项和为，且对任意，恒有成等差数列.（1）求证数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）比较与的大小，并证明你的结论。11.已知函数的定义域为，且同时满足：①对任意，总有；②；③

3、若，，且，则有。（1）求的值；（2）试求的最大值；（3）设数列的前项和为，且满足，，求的值。12.已知函数对于任意的实数均有：，且.（1）当时，求的表达式；（2）设，数列的前项和为，求及。13.已知数列的前项和为，首项.（1）证明数列是等比数列；（2）设.14.已知向量p∥q，其中p，q，其中所满足的关系式记为，若函数为奇函数，且当时，有最小值。（1）求函数的表达式；（2）设数列，满足如下关系：，，。求数列的通项公式，并求数列的前项和。15.已知数列满足条件：，，且数列是公比为的等比数列，又数列满足。（1）求使得不等式成立的的取值范围；（2）若数列的前项和为，求数列的通项公式

4、和；（3）设，，求数列的最大项和最小项的值。数学学科专题卷二（参考答案）1.解：（1）∵，∴，即，，∴，∴。（2），∴。（3），∴。2.解：（1）∵，∴，当时，，满足题意。当时，，即对于恒成立，∴，故。（2）∵，∴，∵，∴当时，，即；当时，，即；当时，，即。3.解：（1）依题意得：（2）由（1）知：所以数列是首项，公差的等差数列，其前10项之和为：4.解：∵，∴是的整数次幂。又，∴即：，∴，所有企盼数之和为：。5.解：（1）∵点在函数的图象上，∴，∴，∵，∴∴所以数列是首项为，公比的等比数列。（2）由（1）得：………①∴.由①得：。6.解：（1）设数列的首项为，公比为∵=9，

5、∴＜1且＝，即………（1）又，∴，即………（2）（1）、（2）联立解得：或（舍）∴，，，数列的公差故=n+，=6·（2）由（1）知：=n+，=显见：=＜9，∵=当n∈时为增函数，且∴时，＞，易验证时，＜故要使＞成立，只需7.解：（1）∵，且为正常数，∴数列是公差的等差数列.（2）由（1）知是等差数列，∴又，且＞1，∴＞，故，公差∴，，（3）显见时，，而＞，∴＜.经验证：时，＜，时，＞.综上，或时，＜；时，＞.8.解：∵，………①∴，解得：，又时，有:………②①-②得：，即：，∵，∴，故，即：，所以数列是公差的等差数列，当时，；此时，，满足成等比数列，当时，；此时，不满足成等比

6、数列，∴9.解：（1）∵成等差数列，设公差为，∴，故，∴。（2）数列是首项为，公比等于的等比数列，∴。（3）时，，∴，∵，令，∴当；当；当。10.解：（1）∵成等差数列，∴，∴时，∴即数列是首项为，公比的等比数列。（2）由（1）得：又∵，∴，∴.（3）时，；时，；时，；时，；时，；猜想：时，。证明：[1]由上知时，猜想正确；[2]假设（）时命题成立，即，那么时，，∵∴＝，即时，猜测也成立，由[1][2]知时，。11.解：（1）由条件③，令，则。（2）任取，且，则，由条件①得：，∴，故在区间上为增函数，∴的最大值为。（3）∵………①∴………②①-②得：，∴，故数列是的等比数列，

7、∴，∵，即，由条件③得：，故是首项为，公比为的等比数列，∴，即，∴。12.解：（1）∵，∴，故是首项为，公比为的等比数列，∴。（2）由（1）得：，………①………②①-②得：∴，。13.解：（1）证明：由已知，∴∴，故时，数列是等比数列.又∴数列是等比数列.（2）由（1）得：∵∴＝设……①……②①－②得：－∴∴14.解：（1）∵p∥q，∴又∵，∴∵函数为奇函数，∴在定义域上恒成立，∴。当时，∵，∴，即，∴。（2）由已知条件及（1）得：∵∴又∵，∴。∵，∴………①………②①－②得：∴15.解：（1）由已知数