数列专题-学生版

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1、教学内容一*知识梳理【数列及基本概念】1.数列的基本概念数列概念，有穷数列，无穷数列，递增、递减数列，数列的通项公式，数列的前n项和。2.在数列｛曲中,前/I项和S”与通项禺的关系:■fl=1【等差数列】1.等差数列的定义：—=d（d为常数）.2.等差数列的通项公式：（1）a“=d]+Xd（2）an=am+Xd3.等差数列的前〃项和公式：4.等第中项：如果°、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即*5.等差数列｛冷｝的三个重要性质：（1）d>0时,等差数列｛外｝是递增数列,d<0时，等差数列｛為｝是递减数列。（2）加，仏/?,gWN,若m+n=p+q

2、,则.（3）数列｛如的前/7项和为S“，S2w-Sz„S3„-S2w成数列.【等比数列】1.等比数列的定义：’=q（q为不等于零的常数）.2.等比数列的通项公式:⑴cin=ciql1⑵aH=antqn3.等比数列的前料项和公式:(E)(9=1)【注意】在公比q不确定时一定要进行分类讨论。4.等比中项：如果a,b,c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即5.等比数列｛给｝的儿个*重要性质：（1）m,n.p,gGN、若m+n=p+q,则•（2）S“是等比数列｛如｝的前兀项和且S”H0,则S”，S2n-Sw,S3“—S2”成数列.（3）若等比数列｛切｝的前兀

3、项和S”满足⑸｝是等差数列，则｛如的公比g=.【数列部分重点题型】等差、等比数列性质及证明方法，求数列的通项公式，数列求和与最值问题，数列极限及运算。例题精讲例1等差等比及性质(2017宝山二模20)数列仏”｝屮，已知再=1,色=Q，色+i=£(色+仏2)对任意比WN"都成立，数列｛色｝的前料项和为S”.(这里⑦比均为实数)(1)若｛色｝是等差数列，求k;(2)若a=l,k=-丄，求S;2”(3)是否存在实数4使数列｛色｝是公比不为1的等比数列，J1任意相邻三项%,4沖,~+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有《的值；若不存在，请说明理由.【小结】：

4、1、惯性思维：看到“等差数列”、“等比数列”要习惯性联系到等差等比数列的定义以及相关性质，并根据题设条件选取合适的性质进行解题。2、要学会抓住题目中每个条件告诉的信息，即把文字语言转化为数学式子。练习1（2017嘉定二模11）设等差数列｛%｝的各项都是正数，前项和为S”，公差为〃.若数列仮｝也是公差为d的等差数列，则｛色｝的通项公式为色=•练习2（2017杨浦二模20）设数列也」满足色二，其中是两个确定的实数，3工0.（1）若人=〃=1,求的前〃项之和；（2）证明：｛绻｝不是等比数列；（3）若数列｛%」中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？并证明你的结论

5、.【小结】：回顾一下如何证明一个数列是等差、等比数列，上述题日告诉我们该如何证明一个数列不是等差、等比数列的一个方法，即：例2求和与最值问题（2017虹口二模19）已知数列｛色｝是首项等于右且公比不为1的等比数列，，是它的前斤项和，满足V=45.-—.3-16（1）求数列｛%｝的通项公式；（2）设hn=log0且QHl）,求数列｛$｝的前/?项和7；的最值.【小结】：在等差数列中，求S“的最大（小）值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正（负）值或0,而它后而的各项皆取负（正）值.即：（1）⑷>0,dvO时，解不等式组^-°n可解得S”达到

6、最大值时川的值.知+1<0（2）6/,<0,〃>0时，解不等式组"二°可解得S“达到最小值时〃的值.S>°练习3(2017奉贤二模20)已知数列｛%｝的前刃项和为S”，且Sn=2an-2(ngV).(1)求｛色｝的通项公式；(2)设bn+i=2bn-2rt+,,bx=8,7；是数列｛bn｝的前〃项和,求正整数使得对任意nwN*均有Tk>Tn恒成立；(3)设c”二—,R”是数列｛｝的前〃项和，若对任意nwN*均有Rh

7、n乘法、待定系数法.2、一般的，题目中的递推公式并不是我们常见的几种形式，需要我们通过一系列换元、平方、倒数、迭代等方法把递推公式化简成常见形式，再通过代数方法(累加法、累乘法、待定系数法)求出通项公式.3、(选讲)“暴力递推法”4、分式相乘的数列求和要用“裂项求和法”例3新概念题(2017春季高考模拟21)已知M为正整数,若数列{aj,{bj^

8、^-bJ

9、的前71项和分别为Sn,Tn,若{S“},{T}”为