高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.3 导数的实际应用自我小测 新人教b版选修1-1

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1、3.3.3导数的实际应用自我小测1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()2．用边长为36cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒．要使所做的铁盒容积最大，在四个角截去的正方形的边长为(　　)A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm3．容积为108L的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为(　　)A．2dmB．3dmC．4dmD．6dm4．设底面为

2、等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)A.B.C.D．5．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量xt与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p＝24200－x2，且生产xt的成本为R＝50000＋200x(元)，则该厂利润达到最大时的月产量为()A．100B．20C．400D．2006．圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为__________．7．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0

3、.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为__________万元．8．一张1.4m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼1.8m，问观察者应站在距离墙__________处看图，才能最清晰(即视角最大)．9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？10．“过低碳生活，创造绿色家园”．为了在夏季降温和冬

4、季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值．参考答案1.答案：A2.答案：A3.解析：设水箱的底面边长为adm，高为hdm，则V＝a2h＝1

5、08，即h＝.用料最省，即表面积最小．S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a×＝a2＋.S表′＝2a－，令S表′＝2a－＝0，解得a＝6，此时h＝3(dm)．答案：B4.解析：设底面边长为x，则表面积S(x)＝x2＋V(x＞0)，S′(x)＝(x3－4V)，令S′(x)＝0，得唯一极值点x＝.答案：C5.解析：每月生产x吨时的利润为f(x)＝·x－(50000＋200x)＝－x3＋24000x－50000(x≥0)．令f′(x)＝－x2＋24000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去负值．f(x)在[0，＋

6、∞)内有唯一的极大值点，也是最大值点．答案：D6.解析：设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2.由V＝πR2h，得h＝，则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2.令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，从而h＝＝＝＝2，即h＝2R.因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即h∶R＝2∶1时所用材料最省．答案：2∶17.解析：设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15－m)辆车，则总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)＝－0.15m2＋3.06m＋30

7、，所以y′＝－0.3m＋3.06.令y′＝0，得m＝10.2.当0≤m＜10.2时，y′＞0；当10.2＜m≤15时，y′＜0.故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值．又由于m为正整数，且当m＝10时，y＝45.6；当m＝11时，y＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元．答案：45.68.解析：如图所示，设OD＝x，∠BOA＝α，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，则α＝γ－β，tanγ＝，tanβ＝，tanα＝tan(γ－β)＝＝＝(x＞0)．令(tanα)′＝＝0，解得x＝2.4.在x＝2.4附近，

8、导数值由正到负，在x＝2.4m处，tanα取得最大值，即视角最大．答案：2.4m9.解：设速度为每小时v千米时的燃料费为每小时p元，由题意得p＝k·v3，其中k为比例常数，当v＝10时，p＝6，解得k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.设当速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行1千米所