高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.3 导数的实际应用课堂导学案 新人教B版选修.doc

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1、3.3.3导数的实际应用课堂导学三点剖析一、求最值【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200-x2)x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x≥0).由f′(x)=-x2+24000=0.解得x1=200,x2=-200(舍去).因f(x)在［0,+∞)内只有一个点x=200使f′(x)=0,故它就是最大值点，且最大值为f(200)=-(2

2、00)3+24000×200-50000=3150000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y′=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】已知某厂生产x件产品的成本为c=25000+200x+x2(元).(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.解析:(1)设平均成本为y元，则令y′=0，得x1=1000,x2=-1000(舍去).当在x

3、=1000附近左侧时，y′<0;在x=1000附近右侧时，y′>0;故当x=1000时，y取得极小值.由于函数只有一个点使y′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品.(2)利润函数为L=500x-(25000+200x+)=300x-25000-.∴L′=(300x-25000-)′=300-.令L′=0，得x=6000，当x在6000附近左侧时，L′>0;当x在6000附近右侧时L′<0，故当x=6000时，L取得极大值.由于函数只有一个使L′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润

4、最大，应生产6000件产品.三、导数在生活中的应用【例3】如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC=h·(sinΦ)-1,设下底AB=x，则上底CD=x+2hcotΦ,又S=(2x+2hcotΦ)h=(x+hcotΦ)h,∴下底x=-hcotΦ,∴横断面被水浸湿周长l=(0<Φ<).∴l′Φ=令l′Φ=0,解得cosΦ=,∴Φ=.根据实际问题的意义，当

5、Φ=时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h，水流横断面积为S,则S=(a+a+2acosΦ)·h=(2a+2acosΦ)·asinΦ=a2(1+cosΦ)·sinΦ(0<Φ<).∴S′=a2［-sin2Φ+(1+cosΦ)cosΦ］=a2(2cosΦ-1)(cosΦ+1).令S′=0,得cosΦ=或cosΦ=-1(舍)，故在(0,)内，当Φ=时，水流横断面积最大，最大值为S=a2(1+cos)sin=a2.各个击破类题演练1已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8

6、其在静水中的速度的平方成正比，当v=12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k>0),则y1=kv2，当v=12时，y1=720,∴720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1·∴y′=.令y′=0,∴v=16.∴当v0≥16时，v=16时全程燃料费最省；当v0<16时，即v∈(8,v0)时y′<0，即y在(8，v0］上为减函数，∴当v=v0时，ymin=综上，当v0≥16时，v=16千米/时全程燃料费最省.当v0<16时，则v=v0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求

7、f(x)=在［-1,3］上的最大值和最小值.解：①求出所有导数为0的点，为此，解方程f′(x)=0,即f′(x)=即x2-2x-1=0得x1=1-与x2=1+且x1,x2∈［-1,3］相应的函数值为：②计算f(x)在区间端点上的值为：f(-1)=0,f(3)=0③通过比较可以发现，f(x)在点x1=1-处取得最大值在x2=1+2处取得最小值.类题演练2用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多