高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂导学案新人教B版选修.doc

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1、3.3.3导数的实际应用课堂导学三点剖析一、求最值【例1】某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200-x2)x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x≥0).由f′(x)=-x2+24000=0.解得x1=200,x2=-200(舍去).因f(x)在[0,+∞)内只有一个点x=200使f′(x)=0,故它就是最大值点,且最大值为f(200)=-(200)3

2、+24000×200-50000=3150000.答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.温馨提示用导数解应用题,求值一般方法:求导,令导数等于0,求y′=0的根,求出最值点,最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】已知某厂生产x件产品的成本为c=25000+200x+x2(元).(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?点拨:本题已经直接给出了函数关系式,可用导数求最值的方法直接求解.解析:(1)设平均成本为y元,则令y′=0,得x1=1000,x2=-1000(舍去).当在x=1000附近左

3、侧时,y′<0;在x=1000附近右侧时,y′>0;故当x=1000时,y取得极小值.由于函数只有一个点使y′=0,且函数在该点有极小值,那么函数在该点取得最小值,因此要使平均成本最低,应生产1000件产品.(2)利润函数为L=500x-(25000+200x+)=300x-25000-.∴L′=(300x-25000-)′=300-.令L′=0,得x=6000,当x在6000附近左侧时,L′>0;当x在6000附近右侧时L′<0,故当x=6000时,L取得极大值.由于函数只有一个使L′=0的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产

4、品.三、导数在生活中的应用【例3】如图所示,水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S,水面的高为h,当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时,才能使横断面被水浸湿的周长为最小?(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a,当水渠侧边倾斜角Φ多大时,水流的横断面积为最大?解:(1)依题意,侧边BC=h·(sinΦ)-1,设下底AB=x,则上底CD=x+2hcotΦ,又S=(2x+2hcotΦ)h=(x+hcotΦ)h,∴下底x=-hcotΦ,∴横断面被水浸湿周长l=(0<Φ<).∴l′Φ=令l′Φ=0,解得cosΦ=,∴Φ=.根据实际问题的意义,当Φ=时,水渠横断面被水浸湿的周长

5、最小.(2)设水渠高为h,水流横断面积为S,则S=(a+a+2acosΦ)·h=(2a+2acosΦ)·asinΦ=a2(1+cosΦ)·sinΦ(0<Φ<).∴S′=a2[-sin2Φ+(1+cosΦ)cosΦ]=a2(2cosΦ-1)(cosΦ+1).令S′=0,得cosΦ=或cosΦ=-1(舍),故在(0,)内,当Φ=时,水流横断面积最大,最大值为S=a2(1+cos)sin=a2.各个击破类题演练1已知A、B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8

6、千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?解:设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k>0),则y1=kv2,当v=12时,y1=720,∴720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1·∴y′=.令y′=0,∴v=16.∴当v0≥16时,v=16时全程燃料费最省;当v0<16时,即v∈(8,v0)时y′<0,即y在(8,v0]上为减函数,∴当v=v0时,ymin=综上,当v0≥16时,v=16千米/时全程燃料费最省.当v0<16时,则v=v0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求f(x)=在[-1,3]上的最大值和最小值.解:

7、①求出所有导数为0的点,为此,解方程f′(x)=0,即f′(x)=即x2-2x-1=0得x1=1-与x2=1+且x1,x2∈[-1,3]相应的函数值为:②计算f(x)在区间端点上的值为:f(-1)=0,f(3)=0③通过比较可以发现,f(x)在点x1=1-处取得最大值在x2=1+2处取得最小值.类题演练2用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱.问:水箱底边的长取多少时,水箱容积最大?最大容积是多

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